유한 수학 예제

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

단계 1

방정식의 양변에서 $\frac{x^{2}}{4}$ 를 뺍니다.

$- \frac{y^{2}}{9} = 1 - \frac{x^{2}}{4}$

단계 2

방정식의 양변에 $- 9$ 을 곱합니다.

$- 9 (- \frac{y^{2}}{9}) = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

단계 3

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$- 9 (- \frac{y^{2}}{9})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.1

$9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.1.1

$- \frac{y^{2}}{9}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$- 9 \frac{- y^{2}}{9} = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

단계 3.1.1.1.2

$- 9$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$9 (- 1) \frac{- y^{2}}{9} = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

단계 3.1.1.1.3

공약수로 약분합니다.

$9 \cdot - 1 \frac{- y^{2}}{9} = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

단계 3.1.1.1.4

수식을 다시 씁니다.

$- - y^{2} = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

단계 3.1.1.2

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 y^{2} = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

단계 3.1.1.2.2

$y^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y^{2} = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

단계 3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$- 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{2} = - 9 \cdot 1 - 9 (- \frac{x^{2}}{4})$

단계 3.2.1.2

$- 9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y^{2} = - 9 - 9 (- \frac{x^{2}}{4})$

단계 3.2.1.3

$- 9 (- \frac{x^{2}}{4})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.3.1

$- 1$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$y^{2} = - 9 + 9 \frac{x^{2}}{4}$

단계 3.2.1.3.2

$9$ 와 $\frac{x^{2}}{4}$ 을 묶습니다.

$y^{2} = - 9 + \frac{9 x^{2}}{4}$

단계 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 9 + \frac{9 x^{2}}{4}}$

단계 5

$\pm \sqrt{- 9 + \frac{9 x^{2}}{4}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$9 x^{2}$ 을 ${(3 x)}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \sqrt{- 9 + \frac{{(3 x)}^{2}}{4}}$

단계 5.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \sqrt{- 9 + \frac{{(3 x)}^{2}}{2^{2}}}$

단계 5.3

$\frac{{(3 x)}^{2}}{2^{2}}$ 을 ${(\frac{3 x}{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \sqrt{- 9 + {(\frac{3 x}{2})}^{2}}$

단계 5.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \sqrt{- 3^{2} + {(\frac{3 x}{2})}^{2}}$

단계 5.4.2

$- 3^{2}$ 와 ${(\frac{3 x}{2})}^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{3 x}{2})}^{2} - 3^{2}}$

단계 5.5

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = \frac{3 x}{2}$ 이고 $b = 3$ 입니다.

$y = \pm \sqrt{(\frac{3 x}{2} + 3) (\frac{3 x}{2} - 3)}$

단계 5.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.1

$\frac{3 x}{2} + 3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.1.1

$\frac{3 x}{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{(3 \frac{x}{2} + 3) (\frac{3 x}{2} - 3)}$

단계 5.6.1.2

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{(3 \frac{x}{2} + 3 (1)) (\frac{3 x}{2} - 3)}$

단계 5.6.1.3

$3 \frac{x}{2} + 3 (1)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{3 (\frac{x}{2} + 1) (\frac{3 x}{2} - 3)}$

단계 5.6.2

$\frac{3 x}{2} - 3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.2.1

$\frac{3 x}{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{3 (\frac{x}{2} + 1) (3 \frac{x}{2} - 3)}$

단계 5.6.2.2

$- 3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{3 (\frac{x}{2} + 1) (3 \frac{x}{2} + 3 (- 1))}$

단계 5.6.2.3

$3 \frac{x}{2} + 3 (- 1)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{3 (\frac{x}{2} + 1) (3 (\frac{x}{2} - 1))}$

$y = \pm \sqrt{3 (\frac{x}{2} + 1) \cdot 3 (\frac{x}{2} - 1)}$

단계 5.6.3

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{9 (\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)}$

단계 5.7

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$y = \pm \sqrt{9 (\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)}$

단계 5.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)}$

단계 5.9

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}$

단계 5.10

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}$

단계 5.11

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x + 2}{2} \frac{x - 1 \cdot 2}{2}}$

단계 5.12

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x + 2}{2} \frac{x - 2}{2}}$

단계 5.13

지수를 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.13.1

$9$ 와 $\frac{x + 2}{2}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (x + 2)}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}}$

단계 5.13.2

$\frac{9 (x + 2)}{2}$ 에 $\frac{x - 2}{2}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}}$

단계 5.13.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (x + 2) (x - 2)}{4}}$

단계 5.14

$\frac{9 (x + 2) (x - 2)}{4}$ 을 ${(\frac{3}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.14.1

$9 (x + 2) (x - 2)$ 에서 완전제곱인 $3^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{3^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}}$

단계 5.14.2

$4$ 에서 완전제곱인 $2^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{3^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}}$

단계 5.14.3

분수 $\frac{3^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ 를 다시 정렬합니다.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}$

단계 5.15

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \pm \frac{3}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}$

단계 5.16

$\frac{3}{2}$ 와 $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

단계 6

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

단계 6.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

단계 6.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

$y = - \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

$y = \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

$y = - \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

단계 7

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$(x + 2) (x - 2) \geq 0$

단계 8

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

단계 8.2

$x + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 2 = 0$

단계 8.2.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 8.3

$x - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 8.3.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 8.4

$(x + 2) (x - 2) \geq 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 2, 2$

단계 8.5

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$x > 2$

단계 8.6

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.6.1

$x < - 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.6.1.1

$x < - 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 4$

단계 8.6.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 4$ 로 치환합니다.

$((- 4) + 2) ((- 4) - 2) \geq 0$

단계 8.6.1.3

좌변 $12$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 8.6.2

$- 2 < x < 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.6.2.1

$- 2 < x < 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 8.6.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$((0) + 2) ((0) - 2) \geq 0$

단계 8.6.2.3

좌변 $- 4$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 8.6.3

$x > 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.6.3.1

$x > 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 4$

단계 8.6.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $4$ 로 치환합니다.

$((4) + 2) ((4) - 2) \geq 0$

단계 8.6.3.3

좌변 $12$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 8.6.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 2$ 참

$- 2 < x < 2$ 거짓

$x > 2$ 참

$x < - 2$ 참

$- 2 < x < 2$ 거짓

$x > 2$ 참

단계 8.7

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x \leq - 2$ 또는 $x \geq 2$

단계 9

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, - 2] \cup [2, \infty)$

조건제시법:

${x | x \leq - 2, x \geq 2}$

단계 10

치역은 모든 유효한 $y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${y | y \in ℝ}$

단계 11

정의역과 치역을 구합니다.

정의역: $(- \infty, - 2] \cup [2, \infty), {x | x \leq - 2, x \geq 2}$

치역: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

단계 12