유한 수학 예제

$\frac{x^{2}}{225} + \frac{y^{2}}{625} = 1$

단계 1

방정식의 양변에서 $\frac{x^{2}}{225}$ 를 뺍니다.

$\frac{y^{2}}{625} = 1 - \frac{x^{2}}{225}$

단계 2

방정식의 양변에 $625$ 을 곱합니다.

$625 \frac{y^{2}}{625} = 625 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

단계 3

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$625$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$625 \frac{y^{2}}{625} = 625 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

단계 3.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} = 625 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

단계 3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$625 (1 - \frac{x^{2}}{225})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{2} = 625 \cdot 1 + 625 (- \frac{x^{2}}{225})$

단계 3.2.1.2

$625$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y^{2} = 625 + 625 (- \frac{x^{2}}{225})$

단계 3.2.1.3

$25$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.3.1

$- \frac{x^{2}}{225}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$y^{2} = 625 + 625 \frac{- x^{2}}{225}$

단계 3.2.1.3.2

$625$ 에서 $25$ 를 인수분해합니다.

$y^{2} = 625 + 25 (25) \frac{- x^{2}}{225}$

단계 3.2.1.3.3

$225$ 에서 $25$ 를 인수분해합니다.

$y^{2} = 625 + 25 \cdot 25 \frac{- x^{2}}{25 \cdot 9}$

단계 3.2.1.3.4

공약수로 약분합니다.

$y^{2} = 625 + 25 \cdot 25 \frac{- x^{2}}{25 \cdot 9}$

단계 3.2.1.3.5

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} = 625 + 25 \frac{- x^{2}}{9}$

단계 3.2.1.4

$25$ 와 $\frac{- x^{2}}{9}$ 을 묶습니다.

$y^{2} = 625 + \frac{25 (- x^{2})}{9}$

단계 3.2.1.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.5.1

$- 1$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$y^{2} = 625 + \frac{- 25 x^{2}}{9}$

단계 3.2.1.5.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y^{2} = 625 - \frac{25 x^{2}}{9}$

단계 4

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{625 - \frac{25 x^{2}}{9}}$

단계 5

$\pm \sqrt{625 - \frac{25 x^{2}}{9}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

지수를 사용하여 수식을 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$625$ 을 $25^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \sqrt{25^{2} - \frac{25 x^{2}}{9}}$

단계 5.1.2

$\frac{25 x^{2}}{9}$ 을 ${(\frac{5 x}{3})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \sqrt{25^{2} - {(\frac{5 x}{3})}^{2}}$

단계 5.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 25$ 이고 $b = \frac{5 x}{3}$ 입니다.

$y = \pm \sqrt{(25 + \frac{5 x}{3}) (25 - \frac{5 x}{3})}$

단계 5.3

공통 분모를 가지는 분수로 $25$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{(25 \cdot \frac{3}{3} + \frac{5 x}{3}) (25 - \frac{5 x}{3})}$

단계 5.4

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$25$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{(\frac{25 \cdot 3}{3} + \frac{5 x}{3}) (25 - \frac{5 x}{3})}$

단계 5.4.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{25 \cdot 3 + 5 x}{3} (25 - \frac{5 x}{3})}$

단계 5.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

$25 \cdot 3 + 5 x$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1.1

$25 \cdot 3$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (5 \cdot 3) + 5 x}{3} (25 - \frac{5 x}{3})}$

단계 5.5.1.2

$5 x$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (5 \cdot 3) + 5 (x)}{3} (25 - \frac{5 x}{3})}$

단계 5.5.1.3

$5 (5 \cdot 3) + 5 (x)$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (5 \cdot 3 + x)}{3} (25 - \frac{5 x}{3})}$

단계 5.5.2

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} (25 - \frac{5 x}{3})}$

단계 5.6

공통 분모를 가지는 분수로 $25$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} (25 \cdot \frac{3}{3} - \frac{5 x}{3})}$

단계 5.7

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.1

$25$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} (\frac{25 \cdot 3}{3} - \frac{5 x}{3})}$

단계 5.7.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} \cdot \frac{25 \cdot 3 - 5 x}{3}}$

단계 5.8

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.8.1

$25 \cdot 3 - 5 x$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.8.1.1

$25 \cdot 3$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} \cdot \frac{5 (5 \cdot 3) - 5 x}{3}}$

단계 5.8.1.2

$- 5 x$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} \cdot \frac{5 (5 \cdot 3) + 5 (- x)}{3}}$

단계 5.8.1.3

$5 (5 \cdot 3) + 5 (- x)$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} \cdot \frac{5 (5 \cdot 3 - x)}{3}}$

단계 5.8.2

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} \cdot \frac{5 (15 - x)}{3}}$

단계 5.9

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.1

$\frac{5 (15 + x)}{3}$ 에 $\frac{5 (15 - x)}{3}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x) (5 (15 - x))}{3 \cdot 3}}$

단계 5.9.2

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.2.1

$5$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (15 + x) (15 - x)}{3 \cdot 3}}$

단계 5.9.2.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (15 + x) (15 - x)}{9}}$

단계 5.10

$\frac{25 (15 + x) (15 - x)}{9}$ 을 ${(\frac{5}{3})}^{2} ((15 + x) (15 - x))$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.10.1

$25 (15 + x) (15 - x)$ 에서 완전제곱인 $5^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{5^{2} ((15 + x) (15 - x))}{9}}$

단계 5.10.2

$9$ 에서 완전제곱인 $3^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{5^{2} ((15 + x) (15 - x))}{3^{2} \cdot 1}}$

단계 5.10.3

분수 $\frac{5^{2} ((15 + x) (15 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ 를 다시 정렬합니다.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{5}{3})}^{2} ((15 + x) (15 - x))}$

단계 5.11

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \pm \frac{5}{3} \sqrt{(15 + x) (15 - x)}$

단계 5.12

$\frac{5}{3}$ 와 $\sqrt{(15 + x) (15 - x)}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

단계 6

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

단계 6.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

단계 6.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

$y = - \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

$y = \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

$y = - \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

단계 7

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{(15 + x) (15 - x)}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$(15 + x) (15 - x) \geq 0$

단계 8

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$15 + x = 0$

$15 - x = 0$

단계 8.2

$15 + x$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$15 + x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$15 + x = 0$

단계 8.2.2

방정식의 양변에서 $15$ 를 뺍니다.

$x = - 15$

단계 8.3

$15 - x$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$15 - x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$15 - x = 0$

단계 8.3.2

$15 - x = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.1

방정식의 양변에서 $15$ 를 뺍니다.

$- x = - 15$

단계 8.3.2.2

$- x = - 15$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.2.1

$- x = - 15$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 15}{- 1}$

단계 8.3.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} = \frac{- 15}{- 1}$

단계 8.3.2.2.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 15}{- 1}$

단계 8.3.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.2.3.1

$- 15$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x = 15$

단계 8.4

$(15 + x) (15 - x) \geq 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 15, 15$

단계 8.5

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 15$

$- 15 < x < 15$

$x > 15$

단계 8.6

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.6.1

$x < - 15$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.6.1.1

$x < - 15$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 18$

단계 8.6.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 18$ 로 치환합니다.

$(15 - 18) (15 - (- 18)) \geq 0$

단계 8.6.1.3

좌변 $- 99$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 8.6.2

$- 15 < x < 15$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.6.2.1

$- 15 < x < 15$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 8.6.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$(15 + 0) (15 - (0)) \geq 0$

단계 8.6.2.3

좌변 $225$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 8.6.3

$x > 15$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.6.3.1

$x > 15$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 18$

단계 8.6.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $18$ 로 치환합니다.

$(15 + 18) (15 - (18)) \geq 0$

단계 8.6.3.3

좌변 $- 99$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 8.6.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 15$ 거짓

$- 15 < x < 15$ 참

$x > 15$ 거짓

$x < - 15$ 거짓

$- 15 < x < 15$ 참

$x > 15$ 거짓

단계 8.7

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$- 15 \leq x \leq 15$

단계 9

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$[- 15, 15]$

조건제시법:

${x | - 15 \leq x \leq 15}$

단계 10

치역은 모든 유효한 $y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

구간 표기:

$[- 25, 25]$

조건제시법:

${y | - 25 \leq y \leq 25}$

단계 11

정의역과 치역을 구합니다.

정의역: $[- 15, 15], {x | - 15 \leq x \leq 15}$

치역: $[- 25, 25], {y | - 25 \leq y \leq 25}$

단계 12