유한 수학 예제

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{64} = 1$

단계 1

방정식의 양변에 $\frac{{(x - 3)}^{2}}{64}$ 를 더합니다.

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = 1 + \frac{{(x - 3)}^{2}}{64}$

단계 2

$1 + \frac{{(x - 3)}^{2}}{64}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

하나의 분수로 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{64}{64} + \frac{{(x - 3)}^{2}}{64}$

단계 2.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{64 + {(x - 3)}^{2}}{64}$

단계 2.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

${(x - 3)}^{2}$ 을 $(x - 3) (x - 3)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{64 + (x - 3) (x - 3)}{64}$

단계 2.2.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 3) (x - 3)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{64 + x (x - 3) - 3 (x - 3)}{64}$

단계 2.2.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{64 + x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)}{64}$

단계 2.2.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{64 + x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3}{64}$

단계 2.2.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{64 + x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3}{64}$

단계 2.2.3.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{64 + x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3}{64}$

단계 2.2.3.1.3

$- 3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{64 + x^{2} - 3 x - 3 x + 9}{64}$

단계 2.2.3.2

$- 3 x$ 에서 $3 x$ 을 뺍니다.

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{64 + x^{2} - 6 x + 9}{64}$

단계 2.2.4

$64$ 를 $9$ 에 더합니다.

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{x^{2} - 6 x + 73}{64}$

단계 3

방정식의 양변에 $36$ 을 곱합니다.

$36 \frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = 36 \frac{x^{2} - 6 x + 73}{64}$

단계 4

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$36$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$36 \frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = 36 \frac{x^{2} - 6 x + 73}{64}$

단계 4.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

${(y - 8)}^{2} = 36 \frac{x^{2} - 6 x + 73}{64}$

단계 4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$36 \frac{x^{2} - 6 x + 73}{64}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1.1

$36$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

${(y - 8)}^{2} = 4 (9) \frac{x^{2} - 6 x + 73}{64}$

단계 4.2.1.1.2

$64$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

${(y - 8)}^{2} = 4 \cdot 9 \frac{x^{2} - 6 x + 73}{4 \cdot 16}$

단계 4.2.1.1.3

공약수로 약분합니다.

${(y - 8)}^{2} = 4 \cdot 9 \frac{x^{2} - 6 x + 73}{4 \cdot 16}$

단계 4.2.1.1.4

수식을 다시 씁니다.

${(y - 8)}^{2} = 9 \frac{x^{2} - 6 x + 73}{16}$

단계 4.2.1.2

$9$ 와 $\frac{x^{2} - 6 x + 73}{16}$ 을 묶습니다.

${(y - 8)}^{2} = \frac{9 (x^{2} - 6 x + 73)}{16}$

단계 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - 8 = \pm \sqrt{\frac{9 (x^{2} - 6 x + 73)}{16}}$

단계 6

$\pm \sqrt{\frac{9 (x^{2} - 6 x + 73)}{16}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\frac{9 (x^{2} - 6 x + 73)}{16}$ 을 ${(\frac{3}{4})}^{2} (x^{2} - 6 x + 73)$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$9 (x^{2} - 6 x + 73)$ 에서 완전제곱인 $3^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y - 8 = \pm \sqrt{\frac{3^{2} (x^{2} - 6 x + 73)}{16}}$

단계 6.1.2

$16$ 에서 완전제곱인 $4^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y - 8 = \pm \sqrt{\frac{3^{2} (x^{2} - 6 x + 73)}{4^{2} \cdot 1}}$

단계 6.1.3

분수 $\frac{3^{2} (x^{2} - 6 x + 73)}{4^{2} \cdot 1}$ 를 다시 정렬합니다.

$y - 8 = \pm \sqrt{{(\frac{3}{4})}^{2} (x^{2} - 6 x + 73)}$

단계 6.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y - 8 = \pm \frac{3}{4} \sqrt{x^{2} - 6 x + 73}$

단계 6.3

$\frac{3}{4}$ 와 $\sqrt{x^{2} - 6 x + 73}$ 을 묶습니다.

$y - 8 = \pm \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 73}}{4}$

단계 7

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y - 8 = \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 73}}{4}$

단계 7.2

방정식의 양변에 $8$ 를 더합니다.

$y = \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 73}}{4} + 8$

단계 7.3

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y - 8 = - \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 73}}{4}$

단계 7.4

방정식의 양변에 $8$ 를 더합니다.

$y = - \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 73}}{4} + 8$

단계 7.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 73}}{4} + 8$

$y = - \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 73}}{4} + 8$

$y = \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 73}}{4} + 8$

$y = - \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 73}}{4} + 8$

단계 8

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{x^{2} - 6 x + 73}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$x^{2} - 6 x + 73 \geq 0$

단계 9

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

부등식을 방정식으로 바꿉니다.

$x^{2} - 6 x + 73 = 0$

단계 9.2

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 9.3

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = - 6$ , $c = 73$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 73)}}{2 \cdot 1}$

단계 9.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.1.1

$- 6$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 73}}{2 \cdot 1}$

단계 9.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 73$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 73}}{2 \cdot 1}$

단계 9.4.1.2.2

$- 4$ 에 $73$ 을 곱합니다.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 292}}{2 \cdot 1}$

단계 9.4.1.3

$36$ 에서 $292$ 을 뺍니다.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 256}}{2 \cdot 1}$

단계 9.4.1.4

$- 256$ 을 $- 1 (256)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 256}}{2 \cdot 1}$

단계 9.4.1.5

$\sqrt{- 1 (256)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{256}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{256}}{2 \cdot 1}$

단계 9.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{256}}{2 \cdot 1}$

단계 9.4.1.7

$256$ 을 $16^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16^{2}}}{2 \cdot 1}$

단계 9.4.1.8

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 16}{2 \cdot 1}$

단계 9.4.1.9

$i$ 의 왼쪽으로 $16$ 이동하기

$x = \frac{6 \pm 16 i}{2 \cdot 1}$

단계 9.4.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{6 \pm 16 i}{2}$

단계 9.4.3

$\frac{6 \pm 16 i}{2}$ 을 간단히 합니다.

$x = 3 \pm 8 i$

단계 9.5

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.5.1.1

$- 6$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 73}}{2 \cdot 1}$

단계 9.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 73$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.5.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 73}}{2 \cdot 1}$

단계 9.5.1.2.2

$- 4$ 에 $73$ 을 곱합니다.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 292}}{2 \cdot 1}$

단계 9.5.1.3

$36$ 에서 $292$ 을 뺍니다.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 256}}{2 \cdot 1}$

단계 9.5.1.4

$- 256$ 을 $- 1 (256)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 256}}{2 \cdot 1}$

단계 9.5.1.5

$\sqrt{- 1 (256)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{256}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{256}}{2 \cdot 1}$

단계 9.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{256}}{2 \cdot 1}$

단계 9.5.1.7

$256$ 을 $16^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16^{2}}}{2 \cdot 1}$

단계 9.5.1.8

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 16}{2 \cdot 1}$

단계 9.5.1.9

$i$ 의 왼쪽으로 $16$ 이동하기

$x = \frac{6 \pm 16 i}{2 \cdot 1}$

단계 9.5.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{6 \pm 16 i}{2}$

단계 9.5.3

$\frac{6 \pm 16 i}{2}$ 을 간단히 합니다.

$x = 3 \pm 8 i$

단계 9.5.4

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$x = 3 + 8 i$

단계 9.6

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.6.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.6.1.1

$- 6$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 73}}{2 \cdot 1}$

단계 9.6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 73$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.6.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 73}}{2 \cdot 1}$

단계 9.6.1.2.2

$- 4$ 에 $73$ 을 곱합니다.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 292}}{2 \cdot 1}$

단계 9.6.1.3

$36$ 에서 $292$ 을 뺍니다.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 256}}{2 \cdot 1}$

단계 9.6.1.4

$- 256$ 을 $- 1 (256)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 256}}{2 \cdot 1}$

단계 9.6.1.5

$\sqrt{- 1 (256)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{256}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{256}}{2 \cdot 1}$

단계 9.6.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{256}}{2 \cdot 1}$

단계 9.6.1.7

$256$ 을 $16^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16^{2}}}{2 \cdot 1}$

단계 9.6.1.8

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 16}{2 \cdot 1}$

단계 9.6.1.9

$i$ 의 왼쪽으로 $16$ 이동하기

$x = \frac{6 \pm 16 i}{2 \cdot 1}$

단계 9.6.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{6 \pm 16 i}{2}$

단계 9.6.3

$\frac{6 \pm 16 i}{2}$ 을 간단히 합니다.

$x = 3 \pm 8 i$

단계 9.6.4

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$x = 3 - 8 i$

단계 9.7

최고차항 계수를 알아냅니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.7.1

다항식의 선행항은 차수가 가장 높은 항입니다.

$x^{2}$

단계 9.7.2

다항식에서 선행계수는 선행항의 계수입니다.

$1$

단계 9.8

x절편이 실수가 아니고 최고차항 계수가 양수이므로 포물선은 위로 열리며 $x^{2} - 6 x + 73$ 은 항상 $0$ 보다 큽니다.

모든 실수

단계 10

정의역은 모든 실수입니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 11

치역은 모든 유효한 $y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

구간 표기:

$(- \infty, 2] \cup [14, \infty)$

조건제시법:

${y | y \leq 2, y \geq 14}$

단계 12

정의역과 치역을 구합니다.

정의역: $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

치역: $(- \infty, 2] \cup [14, \infty), {y | y \leq 2, y \geq 14}$

단계 13