유한 수학 예제

${(x + \frac{3}{4})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{25}{16}$

단계 1

방정식의 양변에서 ${(x + \frac{3}{4})}^{2}$ 를 뺍니다.

${(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{25}{16} - {(x + \frac{3}{4})}^{2}$

단계 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - {(x + \frac{3}{4})}^{2}}$

단계 3

$\pm \sqrt{\frac{25}{16} - {(x + \frac{3}{4})}^{2}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

${(x + \frac{3}{4})}^{2}$ 을 $(x + \frac{3}{4}) (x + \frac{3}{4})$ 로 바꿔 씁니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - ((x + \frac{3}{4}) (x + \frac{3}{4}))}$

단계 3.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + \frac{3}{4}) (x + \frac{3}{4})$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x (x + \frac{3}{4}) + \frac{3}{4} (x + \frac{3}{4}))}$

단계 3.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x \cdot x + x \frac{3}{4} + \frac{3}{4} (x + \frac{3}{4}))}$

단계 3.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x \cdot x + x \frac{3}{4} + \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4})}$

단계 3.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + x \frac{3}{4} + \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4})}$

단계 3.3.1.2

$x$ 와 $\frac{3}{4}$ 을 묶습니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4})}$

단계 3.3.1.3

$x$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + \frac{3 \cdot x}{4} + \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4})}$

단계 3.3.1.4

$\frac{3}{4}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + \frac{3 x}{4} + \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4})}$

단계 3.3.1.5

$\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.5.1

$\frac{3}{4}$ 에 $\frac{3}{4}$ 을 곱합니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + \frac{3 x}{4} + \frac{3 x}{4} + \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 4})}$

단계 3.3.1.5.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + \frac{3 x}{4} + \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4 \cdot 4})}$

단계 3.3.1.5.3

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + \frac{3 x}{4} + \frac{3 x}{4} + \frac{9}{16})}$

단계 3.3.2

$\frac{3 x}{4}$ 를 $\frac{3 x}{4}$ 에 더합니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + 2 \frac{3 x}{4} + \frac{9}{16})}$

단계 3.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.4.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + 2 \frac{3 x}{2 (2)} + \frac{9}{16})}$

단계 3.4.2

공약수로 약분합니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + 2 \frac{3 x}{2 \cdot 2} + \frac{9}{16})}$

단계 3.4.3

수식을 다시 씁니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + \frac{3 x}{2} + \frac{9}{16})}$

단계 3.5

분배 법칙을 적용합니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - x^{2} - \frac{3 x}{2} - \frac{9}{16}}$

단계 3.6

식을 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{- x^{2} - \frac{3 x}{2} + \frac{25 - 9}{16}}$

단계 3.6.2

$25$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{- x^{2} - \frac{3 x}{2} + \frac{16}{16}}$

단계 3.6.3

$16$ 을 $16$ 로 나눕니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{- x^{2} - \frac{3 x}{2} + 1}$

단계 3.7

공통 분모를 가지는 분수로 $- x^{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{- x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 x}{2} + 1}$

단계 3.8

항을 간단히 합니다.

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단계 3.8.1

$- x^{2}$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{3 x}{2} + 1}$

단계 3.8.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- x^{2} \cdot 2 - 3 x}{2} + 1}$

단계 3.9

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.9.1

$- x^{2} \cdot 2 - 3 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.9.1.1

$- x^{2} \cdot 2$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- x \cdot 2) - 3 x}{2} + 1}$

단계 3.9.1.2

$- 3 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- x \cdot 2) + x \cdot - 3}{2} + 1}$

단계 3.9.1.3

$x (- x \cdot 2) + x \cdot - 3$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- x \cdot 2 - 3)}{2} + 1}$

단계 3.9.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- 2 x - 3)}{2} + 1}$

단계 3.10

하나의 분수로 통분합니다.

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단계 3.10.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- 2 x - 3)}{2} + \frac{2}{2}}$

단계 3.10.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- 2 x - 3) + 2}{2}}$

단계 3.11

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- 2 x) + x \cdot - 3 + 2}{2}}$

단계 3.11.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x \cdot x + x \cdot - 3 + 2}{2}}$

단계 3.11.3

$x$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x \cdot x - 3 \cdot x + 2}{2}}$

단계 3.11.4

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.11.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 (x \cdot x) - 3 \cdot x + 2}{2}}$

단계 3.11.4.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x^{2} - 3 \cdot x + 2}{2}}$

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x^{2} - 3 x + 2}{2}}$

단계 3.11.5

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 3.11.5.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = - 2 \cdot 2 = - 4$ 이고 합이 $b = - 3$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 3.11.5.1.1

$- 3 x$ 에서 $- 3$ 를 인수분해합니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x^{2} - 3 (x) + 2}{2}}$

단계 3.11.5.1.2

$- 3$ 를 $1$ + $- 4$ 로 다시 씁니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x^{2} + (1 - 4) x + 2}{2}}$

단계 3.11.5.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x^{2} + 1 x - 4 x + 2}{2}}$

단계 3.11.5.1.4

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x^{2} + x - 4 x + 2}{2}}$

단계 3.11.5.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 3.11.5.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{(- 2 x^{2} + x) - 4 x + 2}{2}}$

단계 3.11.5.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- 2 x + 1) + 2 (- 2 x + 1)}{2}}$

단계 3.11.5.3

최대공약수 $- 2 x + 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{(- 2 x + 1) (x + 2)}{2}}$

단계 3.12

$\sqrt{\frac{(- 2 x + 1) (x + 2)}{2}}$ 을 $\frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)}}{\sqrt{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)}}{\sqrt{2}}$

단계 3.13

$\frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)}}{\sqrt{2}}$ 에 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 을 곱합니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

단계 3.14

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 3.14.1

$\frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)}}{\sqrt{2}}$ 에 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 을 곱합니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

단계 3.14.2

$\sqrt{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

단계 3.14.3

$\sqrt{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

단계 3.14.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

단계 3.14.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

단계 3.14.6

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 3.14.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 3.14.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 3.14.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

단계 3.14.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.14.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

단계 3.14.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{2^{1}}$

단계 3.14.6.5

지수값을 계산합니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{2}$

단계 3.15

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2) \cdot 2}}{2}$

단계 3.16

$\pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2) \cdot 2}}{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2}$

단계 4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2}$

단계 4.2

방정식의 양변에 $\frac{1}{2}$ 를 더합니다.

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2} + \frac{1}{2}$

단계 4.3

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2}$

단계 4.4

방정식의 양변에 $\frac{1}{2}$ 를 더합니다.

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2} + \frac{1}{2}$

단계 4.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2} + \frac{1}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2} + \frac{1}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2} + \frac{1}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2} + \frac{1}{2}$

단계 5

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$2 (- 2 x + 1) (x + 2) \geq 0$

단계 6

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 6.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$- 2 x + 1 = 0$

$x + 2 = 0$

단계 6.2

$- 2 x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 6.2.1

$- 2 x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$- 2 x + 1 = 0$

단계 6.2.2

$- 2 x + 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 6.2.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$- 2 x = - 1$

단계 6.2.2.2

$- 2 x = - 1$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 6.2.2.2.1

$- 2 x = - 1$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나눕니다.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

단계 6.2.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 6.2.2.2.2.1

$- 2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

단계 6.2.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 1}{- 2}$

단계 6.2.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 6.2.2.2.3.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$x = \frac{1}{2}$

단계 6.3

$x + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 6.3.1

$x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 2 = 0$

단계 6.3.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 6.4

$2 (- 2 x + 1) (x + 2) \geq 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{1}{2}, - 2$

단계 6.5

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 2$

$- 2 < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

단계 6.6

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 6.6.1

$x < - 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 6.6.1.1

$x < - 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 4$

단계 6.6.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 4$ 로 치환합니다.

$2 (- 2 \cdot - 4 + 1) ((- 4) + 2) \geq 0$

단계 6.6.1.3

좌변 $- 36$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 6.6.2

$- 2 < x < \frac{1}{2}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 6.6.2.1

$- 2 < x < \frac{1}{2}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 6.6.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$2 (- 2 \cdot 0 + 1) ((0) + 2) \geq 0$

단계 6.6.2.3

좌변 $4$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 6.6.3

$x > \frac{1}{2}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 6.6.3.1

$x > \frac{1}{2}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 3$

단계 6.6.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $3$ 로 치환합니다.

$2 (- 2 \cdot 3 + 1) ((3) + 2) \geq 0$

단계 6.6.3.3

좌변 $- 50$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 6.6.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 2$ 거짓

$- 2 < x < \frac{1}{2}$ 참

$x > \frac{1}{2}$ 거짓

$x < - 2$ 거짓

$- 2 < x < \frac{1}{2}$ 참

$x > \frac{1}{2}$ 거짓

단계 6.7

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$- 2 \leq x \leq \frac{1}{2}$

단계 7

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$[- 2, \frac{1}{2}]$

조건제시법:

${x | - 2 \leq x \leq \frac{1}{2}}$

단계 8

치역은 모든 유효한 $y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

구간 표기:

$[- \frac{3}{4}, \frac{7}{4}]$

조건제시법:

${y | - \frac{3}{4} \leq y \leq \frac{7}{4}}$

단계 9

정의역과 치역을 구합니다.

정의역: $[- 2, \frac{1}{2}], {x | - 2 \leq x \leq \frac{1}{2}}$

치역: $[- \frac{3}{4}, \frac{7}{4}], {y | - \frac{3}{4} \leq y \leq \frac{7}{4}}$

단계 10