유한 수학 예제

$f (x) = \sqrt{x}$ , $g (x) = \sqrt{4 - x^{2}}$

단계 1

함수들의 몫을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\frac{f (x)}{g (x)}$ 의 함수 기호에 $\frac{f (x)}{g (x)}$ 의 실제 함수를 대입합니다.

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4 - x^{2}}}$

단계 1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.2.1.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2^{2} - x^{2}}}$

단계 1.2.1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 2$ 이고 $b = x$ 입니다.

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$

단계 1.2.2

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ 에 $\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$

단계 1.2.3

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 1.2.3.1

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ 에 $\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$

단계 1.2.3.2

$\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$

단계 1.2.3.3

$\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1} {\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1}}$

단계 1.2.3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1 + 1}}$

단계 1.2.3.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{2}}$

단계 1.2.3.6

${\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{2}$ 을 $(2 + x) (2 - x)$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 1.2.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ 을(를) ${((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{({((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 1.2.3.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 1.2.3.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

단계 1.2.3.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.3.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

단계 1.2.3.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{1}}$

단계 1.2.3.6.5

간단히 합니다.

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{(2 + x) (2 - x)}$

단계 1.2.4

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$\frac{\sqrt{x (2 + x) (2 - x)}}{(2 + x) (2 - x)}$

단계 2

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{x (2 + x) (2 - x)}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$x (2 + x) (2 - x) \geq 0$

단계 3

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$2 + x = 0$

$2 - x = 0$

단계 3.2

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 3.3

$2 + x$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 3.3.1

$2 + x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 + x = 0$

단계 3.3.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 3.4

$2 - x$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 3.4.1

$2 - x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 - x = 0$

단계 3.4.2

$2 - x = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.4.2.1

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$- x = - 2$

단계 3.4.2.2

$- x = - 2$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.4.2.2.1

$- x = - 2$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

단계 3.4.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 3.4.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

단계 3.4.2.2.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 2}{- 1}$

단계 3.4.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 3.4.2.2.3.1

$- 2$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x = 2$

단계 3.5

$x (2 + x) (2 - x) \geq 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, - 2, 2$

단계 3.6

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

단계 3.7

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 3.7.1

$x < - 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.1

$x < - 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 4$

단계 3.7.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 4$ 로 치환합니다.

$- 4 (2 - 4) (2 - (- 4)) \geq 0$

단계 3.7.1.3

좌변 $48$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 3.7.2

$- 2 < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.1

$- 2 < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 1$

단계 3.7.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 1$ 로 치환합니다.

$- 1 (2 - 1) (2 - (- 1)) \geq 0$

단계 3.7.2.3

좌변 $- 3$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 3.7.3

$0 < x < 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 3.7.3.1

$0 < x < 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 1$

단계 3.7.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $1$ 로 치환합니다.

$1 (2 + 1) (2 - (1)) \geq 0$

단계 3.7.3.3

좌변 $3$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 3.7.4

$x > 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.4.1

$x > 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 4$

단계 3.7.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $4$ 로 치환합니다.

$4 (2 + 4) (2 - (4)) \geq 0$

단계 3.7.4.3

좌변 $- 48$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 3.7.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 2$ 참

$- 2 < x < 0$ 거짓

$0 < x < 2$ 참

$x > 2$ 거짓

$x < - 2$ 참

$- 2 < x < 0$ 거짓

$0 < x < 2$ 참

$x > 2$ 거짓

단계 3.8

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x \leq - 2$ 또는 $0 \leq x \leq 2$

단계 4

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{\sqrt{x (2 + x) (2 - x)}}{(2 + x) (2 - x)}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$(2 + x) (2 - x) = 0$

단계 5

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$2 + x = 0$

$2 - x = 0$

단계 5.2

$2 + x$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.2.1

$2 + x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 + x = 0$

단계 5.2.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 5.3

$2 - x$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.3.1

$2 - x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 - x = 0$

단계 5.3.2

$2 - x = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$- x = - 2$

단계 5.3.2.2

$- x = - 2$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1

$- x = - 2$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

단계 5.3.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

단계 5.3.2.2.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 2}{- 1}$

단계 5.3.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.3.1

$- 2$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x = 2$

단계 5.4

$(2 + x) (2 - x) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 2, 2$

단계 6

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, - 2) \cup [0, 2)$

조건제시법:

${x | x < - 2, 0 \leq x < 2}$

단계 7