유한 수학 예제

(9, 8)

$(9, 8)$ ,

(9, 3)

$(9, 3)$

단계 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

θ = arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

단계 2

Find the dot product.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

a⃗ \cdot b⃗ = 9 \cdot 9 + 8 \cdot 3

$a⃗ \cdot b⃗ = 9 \cdot 9 + 8 \cdot 3$

단계 2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

9

$9$ 에

9

$9$ 을 곱합니다.

a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 8 \cdot 3

$a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 8 \cdot 3$

단계 2.2.1.2

8

$8$ 에

3

$3$ 을 곱합니다.

a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 24

$a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 24$

a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 24

$a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 24$

단계 2.2.2

81

$81$ 를

24

$24$ 에 더합니다.

a⃗ \cdot b⃗ = 105

$a⃗ \cdot b⃗ = 105$

a⃗ \cdot b⃗ = 105

$a⃗ \cdot b⃗ = 105$

a⃗ \cdot b⃗ = 105

$a⃗ \cdot b⃗ = 105$

단계 3

a⃗

$a⃗$ 의 크기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

| a⃗ | = \sqrt{9^{2} + 8^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{9^{2} + 8^{2}}$

단계 3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

9

$9$ 를

2

$2$ 승 합니다.

| a⃗ | = \sqrt{81 + 8^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{81 + 8^{2}}$

단계 3.2.2

8

$8$ 를

2

$2$ 승 합니다.

| a⃗ | = \sqrt{81 + 64}

$| a⃗ | = \sqrt{81 + 64}$

단계 3.2.3

81

$81$ 를

64

$64$ 에 더합니다.

| a⃗ | = \sqrt{145}

$| a⃗ | = \sqrt{145}$

| a⃗ | = \sqrt{145}

$| a⃗ | = \sqrt{145}$

| a⃗ | = \sqrt{145}

$| a⃗ | = \sqrt{145}$

단계 4

b⃗

$b⃗$ 의 크기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

| b⃗ | = \sqrt{9^{2} + 3^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{9^{2} + 3^{2}}$

단계 4.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

9

$9$ 를

2

$2$ 승 합니다.

| b⃗ | = \sqrt{81 + 3^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 3^{2}}$

단계 4.2.2

3

$3$ 를

2

$2$ 승 합니다.

| b⃗ | = \sqrt{81 + 9}

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 9}$

단계 4.2.3

81

$81$ 를

9

$9$ 에 더합니다.

| b⃗ | = \sqrt{90}

$| b⃗ | = \sqrt{90}$

단계 4.2.4

90

$90$ 을

3^{2} \cdot 10

$3^{2} \cdot 10$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.4.1

90

$90$ 에서

9

$9$ 를 인수분해합니다.

| b⃗ | = \sqrt{9 (10)}

$| b⃗ | = \sqrt{9 (10)}$

단계 4.2.4.2

9

$9$ 을

3^{2}

$3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

| b⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 10}

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 10}$

| b⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 10}

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 10}$

단계 4.2.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

| b⃗ | = 3 \sqrt{10}

$| b⃗ | = 3 \sqrt{10}$

| b⃗ | = 3 \sqrt{10}

$| b⃗ | = 3 \sqrt{10}$

| b⃗ | = 3 \sqrt{10}

$| b⃗ | = 3 \sqrt{10}$

단계 5

공식에 값을 대입합니다.

θ = arccos ⎛ ⎜ ⎝ \frac{105}{\sqrt{145} (3 \sqrt{10})} ⎞ ⎟ ⎠

$θ = \arccos (\frac{105}{\sqrt{145} (3 \sqrt{10})})$

단계 6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

105

$105$ 및

3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

105

$105$ 에서

3

$3$ 를 인수분해합니다.

θ = arccos ⎛ ⎜ ⎝ \frac{3 \cdot 35}{\sqrt{145} (3 \sqrt{10})} ⎞ ⎟ ⎠

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 35}{\sqrt{145} (3 \sqrt{10})})$

단계 6.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.2.1

\sqrt{145} (3 \sqrt{10})

$\sqrt{145} (3 \sqrt{10})$ 에서

3

$3$ 를 인수분해합니다.

θ = arccos ⎛ ⎜ ⎝ \frac{3 \cdot 35}{3 (\sqrt{145} (\sqrt{10}))} ⎞ ⎟ ⎠

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 35}{3 (\sqrt{145} (\sqrt{10}))})$

단계 6.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 35}{3 (\sqrt{145} (\sqrt{10}))})$

단계 6.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{145} (\sqrt{10})})$

단계 6.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{145 \cdot 10}})$

단계 6.2.2

$145$ 에

$10$ 을 곱합니다.

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{1450}})$

단계 6.3

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

$1450$ 을

$5^{2} \cdot 58$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1

$1450$ 에서

$25$ 를 인수분해합니다.

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{25 (58)}})$

단계 6.3.1.2

$25$ 을

$5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{5^{2} \cdot 58}})$

단계 6.3.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$θ = \arccos (\frac{35}{5 \sqrt{58}})$

단계 6.4

$35$ 및

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

$35$ 에서

$5$ 를 인수분해합니다.

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 7}{5 \sqrt{58}})$

단계 6.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.1

$5 \sqrt{58}$ 에서

$5$ 를 인수분해합니다.

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 7}{5 (\sqrt{58})})$

단계 6.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 7}{5 \sqrt{58}})$

단계 6.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$θ = \arccos (\frac{7}{\sqrt{58}})$

단계 6.5

$\frac{7}{\sqrt{58}}$ 에

$\frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}}$ 을 곱합니다.

$θ = \arccos (\frac{7}{\sqrt{58}} \cdot \frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}})$

단계 6.6

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.6.1

$\frac{7}{\sqrt{58}}$ 에

$\frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}}$ 을 곱합니다.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{\sqrt{58} \sqrt{58}})$

단계 6.6.2

$\sqrt{58}$ 를

$1$ 승 합니다.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1} \sqrt{58}})$

단계 6.6.3

$\sqrt{58}$ 를

$1$ 승 합니다.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1} {\sqrt{58}}^{1}})$

단계 6.6.4

지수 법칙

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1 + 1}})$

단계 6.6.5

$1$ 를

$1$ 에 더합니다.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{2}})$

단계 6.6.6

${\sqrt{58}}^{2}$ 을

$58$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.6.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여

$\sqrt{58}$ 을(를)

$58^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{(58^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

단계 6.6.6.2

멱의 법칙을 적용하여

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

단계 6.6.6.3

$\frac{1}{2}$ 와

$2$ 을 묶습니다.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{\frac{2}{2}}})$

단계 6.6.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.6.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{\frac{2}{2}}})$

단계 6.6.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{1}})$

단계 6.6.6.5

지수값을 계산합니다.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58})$

단계 6.7

$\arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58})$ 의 값을 구합니다.

$θ = 23.19859051$