유한 수학 예제

$f (x) = \frac{{(3 x - 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1

유리함수는 분모가 $0$ 가 아닐 때 두 다항함수의 비로 나타낼 수 있는 모든 함수를 말합니다.

$f (x) = \frac{{(3 x - 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 는 유리함수입니다

단계 2

유리함수는 분자의 차수가 분모의 차수보다 작을 때 진함수가 되며, 그렇지 않은 경우에는 가함수가 됩니다.

분자의 차수가 분모의 차수보다 작으면 진함수를 의미합니다.

분자의 차수가 분모의 차수보다 크면 진함수가 아님을 의미합니다.

분자의 차수가 분모의 차수와 같으면 진함수가 아님을 의미합니다.

단계 3

분자의 차수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

다항식을 간단히 정리하고 다시 정렬합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

이항정리 이용

${(3 x)}^{3} + 3 {(3 x)}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

단계 3.1.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

$3 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$3^{3} x^{3} + 3 {(3 x)}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

단계 3.1.2.2

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$27 x^{3} + 3 {(3 x)}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

단계 3.1.2.3

$3 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$27 x^{3} + 3 (3^{2} x^{2}) \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

단계 3.1.2.4

지수를 더하여 $3$ 에 $3^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.4.1

$3^{2}$ 를 옮깁니다.

$27 x^{3} + 3^{2} \cdot 3 x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

단계 3.1.2.4.2

$3^{2}$ 에 $3$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.4.2.1

$3$ 를 $1$ 승 합니다.

$27 x^{3} + 3^{2} \cdot 3^{1} x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

단계 3.1.2.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$27 x^{3} + 3^{2 + 1} x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

단계 3.1.2.4.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$27 x^{3} + 3^{3} x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

단계 3.1.2.5

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$27 x^{3} + 27 x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

단계 3.1.2.6

$- 1$ 에 $27$ 을 곱합니다.

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

단계 3.1.2.7

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

단계 3.1.2.8

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x \cdot 1 + {(- 1)}^{3}$

단계 3.1.2.9

$9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x + {(- 1)}^{3}$

단계 3.1.2.10

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x - 1$

단계 3.2

가장 큰 지수가 다항식의 차수입니다.

$3$

단계 4

분모의 차수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

다항식을 간단히 정리하고 다시 정렬합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

${(x^{2} + 1)}^{2}$ 을 $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$

단계 4.1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

단계 4.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)$

단계 4.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1$

단계 4.1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1.1.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1$

단계 4.1.3.1.1.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1$

단계 4.1.3.1.2

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1$

단계 4.1.3.1.3

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1$

단계 4.1.3.1.4

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1$

단계 4.1.3.2

$x^{2}$ 를 $x^{2}$ 에 더합니다.

$x^{4} + 2 x^{2} + 1$

단계 4.2

가장 큰 지수가 다항식의 차수입니다.

$4$

단계 5

분자의 차수 $3$ 가 분모의 차수 $4$ 보다 작습니다.

$3 < 4$

단계 6

분자의 차수가 분모의 차수보다 작으므로 $f (x)$ 가 진함수임을 의미합니다.

진함수