유한 수학 예제

$x^{4} - x^{3} - x^{2} + 2 x + 1$

단계 1

항을 다시 묶습니다.

$x^{4} - x^{2} - x^{3} + 2 x + 1$

단계 2

$x^{4} - x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1

$x^{4}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} x^{2} - x^{2} - x^{3} + 2 x + 1$

단계 2.2

$- x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - x^{3} + 2 x + 1$

단계 2.3

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} (x^{2} - 1) - x^{3} + 2 x + 1$

단계 3

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{2} (x^{2} - 1^{2}) - x^{3} + 2 x + 1$

단계 4

인수분해합니다.

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단계 4.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $i = 1$ 입니다.

$x^{2} ((x + 1) (x - 1)) - x^{3} + 2 x + 1$

단계 4.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) - x^{3} + 2 x + 1$

단계 5

유리근 정리르 이용하여 $- x^{3} + 2 x + 1$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

단계 5.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1$

단계 5.3

$- 1$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $- 1$ 은 다항식의 근입니다.

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단계 5.3.1

$- 1$ 을 다항식에 대입합니다.

$- {(- 1)}^{3} + 2 \cdot - 1 + 1$

단계 5.3.2

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$- - 1 + 2 \cdot - 1 + 1$

단계 5.3.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 + 2 \cdot - 1 + 1$

단계 5.3.4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 - 2 + 1$

단계 5.3.5

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- 1 + 1$

단계 5.3.6

$- 1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$0$

단계 5.4

$- 1$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x + 1$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{- x^{3} + 2 x + 1}{x + 1}$

단계 5.5

$- x^{3} + 2 x + 1$ 을 $x + 1$ 로 나눕니다.

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단계 5.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

단계 5.5.2

피제수 $- x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				-	$x^{2}$
	$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$

단계 5.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

단계 5.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- x^{3} - x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

단계 5.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

단계 5.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$

단계 5.5.7

피제수 $x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$

단계 5.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

단계 5.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{2} + x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

단계 5.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$x$

단계 5.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$x$	+	$1$

단계 5.5.12

피제수 $x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$x$	+	$1$

단계 5.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$x$	+	$1$
							+	$x$	+	$1$

단계 5.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x + 1$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$x$	+	$1$
							-	$x$	-	$1$

단계 5.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$x$	+	$1$
							-	$x$	-	$1$
										$0$

단계 5.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$- x^{2} + x + 1$

단계 5.6

$- x^{3} + 2 x + 1$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (- x^{2} + x + 1)$

단계 6

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (- x^{2} + x + 1)$ 에서 $x + 1$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.1

$x^{2} (x + 1) (x - 1)$ 에서 $x + 1$ 를 인수분해합니다.

$(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + (x + 1) (- x^{2} + x + 1)$

단계 6.2

$(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + (x + 1) (- x^{2} + x + 1)$ 에서 $x + 1$ 를 인수분해합니다.

$(x + 1) (x^{2} (x - 1) - x^{2} + x + 1)$

단계 7

분배 법칙을 적용합니다.

$(x + 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 - x^{2} + x + 1)$

단계 8

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 8.1

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 8.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$(x + 1) (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 1 - x^{2} + x + 1)$

단계 8.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(x + 1) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1 - x^{2} + x + 1)$

단계 8.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$(x + 1) (x^{3} + x^{2} \cdot - 1 - x^{2} + x + 1)$

단계 9

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$(x + 1) (x^{3} - 1 x^{2} - x^{2} + x + 1)$

단계 10

$- 1 x^{2}$ 을 $- x^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x + 1) (x^{3} - x^{2} - x^{2} + x + 1)$

단계 11

$- x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$(x + 1) (x^{3} - 2 x^{2} + x + 1)$