유한 수학 예제

$[\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}]$

단계 1

특성방정식 $p (λ)$ 를 구하기 위하여 공식을 세웁니다.

$p (λ) = 행렬식 (A - λ I_{2})$

단계 2

크기가 $2$ 인 단위행렬은 주대각선이 1이고 나머지는 0인 $2 \times 2$ 정방행렬입니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

단계 3

알고 있는 값을 $p (λ) = 행렬식 (A - λ I_{2})$ 에 대입합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$A$ 에 $[\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}]$ 를 대입합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] - λ I_{2})$

단계 3.2

$I_{2}$ 에 $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ 를 대입합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

행렬의 각 원소에 $- λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 4.1.2

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.2.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 4.1.2.2.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.3.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 4.1.2.3.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 4.1.2.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

단계 4.2

해당하는 원소를 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} x - λ & 4 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

단계 4.3

Simplify each element.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} x - λ & 4 \\ 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

단계 4.3.2

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} x - λ & 4 \\ 3 & 2 - λ \end{array}]$

단계 5

Find the determinant.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$p (λ) = (x - λ) (2 - λ) - 3 \cdot 4$

단계 5.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - λ) (2 - λ)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = x (2 - λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot 4$

단계 5.2.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = x \cdot 2 + x (- λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot 4$

단계 5.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = x \cdot 2 + x (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 4$

단계 5.2.1.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.2.1

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$p (λ) = 2 \cdot x + x (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 4$

단계 5.2.1.2.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$p (λ) = 2 x - x λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 4$

단계 5.2.1.2.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 2 x - x λ - 2 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 4$

단계 5.2.1.2.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$p (λ) = 2 x - x λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 4$

단계 5.2.1.2.5

지수를 더하여 $λ$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.2.5.1

$λ$ 를 옮깁니다.

$p (λ) = 2 x - x λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 4$

단계 5.2.1.2.5.2

$λ$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 2 x - x λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 4$

단계 5.2.1.2.6

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 2 x - x λ - 2 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 4$

단계 5.2.1.2.7

$λ^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 2 x - x λ - 2 λ + λ^{2} - 3 \cdot 4$

단계 5.2.1.3

$- 3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 2 x - x λ - 2 λ + λ^{2} - 12$

단계 5.2.2

$- 2 λ$ 를 옮깁니다.

$p (λ) = 2 x - x λ + λ^{2} - 2 λ - 12$

단계 5.2.3

$2 x$ 를 옮깁니다.

$p (λ) = - x λ + λ^{2} + 2 x - 2 λ - 12$

단계 6

특성다항식이 $0$ 이 되도록 하여 고유값 $λ$ 를 구합니다.

$- x λ + λ^{2} + 2 x - 2 λ - 12 = 0$

단계 7

$λ$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 7.2

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = - x - 2$ , $c = 2 x - 12$ 을 대입하여 $λ$ 를 구합니다.

$\frac{- (- x - 2) \pm \sqrt{{(- x - 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (2 x - 12))}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{{(- x - 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.2

$- - x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$λ = \frac{1 x + 2 \pm \sqrt{{(- x - 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.2.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{{(- x - 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.3

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{{(- x - 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.4

${(- x - 2)}^{2}$ 을 $(- x - 2) (- x - 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{(- x - 2) (- x - 2) - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.5

FOIL 계산법을 이용하여 $(- x - 2) (- x - 2)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{- x (- x - 2) - 2 (- x - 2) - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{- x (- x) - x \cdot - 2 - 2 (- x - 2) - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{- x (- x) - x \cdot - 2 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.6

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.6.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.6.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 x \cdot x) - x \cdot - 2 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.6.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.6.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 (x \cdot x)) - x \cdot - 2 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.6.1.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 x^{2}) - x \cdot - 2 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.6.1.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{1 x^{2} - x \cdot - 2 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.6.1.4

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - x \cdot - 2 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.6.1.5

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + 2 x - 2 (- x) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.6.1.6

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + 2 x + 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.6.1.7

$- 2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + 2 x + 2 x + 4 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.6.2

$2 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + 4 x + 4 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.7

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + 4 x + 4 - 4 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.8

분배 법칙을 적용합니다.

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + 4 x + 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.9

$2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + 4 x + 4 - 8 x - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.10

$- 4$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + 4 x + 4 - 8 x + 48}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.11

$4 x$ 에서 $8 x$ 을 뺍니다.

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 48}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.12

$4$ 를 $48$ 에 더합니다.

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 52}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 52}}{2}$

단계 7.4

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$λ = \frac{x + 2 + \sqrt{x^{2} - 4 x + 52}}{2}$

$λ = \frac{x + 2 - \sqrt{x^{2} - 4 x + 52}}{2}$

$λ = \frac{x + 2 + \sqrt{x^{2} - 4 x + 52}}{2}$

$λ = \frac{x + 2 - \sqrt{x^{2} - 4 x + 52}}{2}$