유한 수학 예제

$\frac{x^{2} + | 3 x |}{x + 3} > 0$

단계 1

절댓값에서 음이 아닌 항을 제거합니다.

$\frac{x^{2} + 3 | x |}{x + 3} > 0$

단계 2

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$x^{2} + 3 | x | = 0$

$x + 3 = 0$

단계 3

방정식의 양변에서 $x^{2}$ 를 뺍니다.

$3 | x | = - x^{2}$

단계 4

$3 | x | = - x^{2}$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$3 | x | = - x^{2}$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 | x |}{3} = \frac{- x^{2}}{3}$

단계 4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 | x |}{3} = \frac{- x^{2}}{3}$

단계 4.2.1.2

$| x |$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$| x | = \frac{- x^{2}}{3}$

단계 4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$| x | = - \frac{x^{2}}{3}$

단계 5

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$x = \pm (- \frac{x^{2}}{3})$

단계 6

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = - \frac{x^{2}}{3}$

단계 6.2

양변에 $3$ 을 곱합니다.

$x \cdot 3 = - \frac{x^{2}}{3} \cdot 3$

단계 6.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1

$x$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$3 x = - \frac{x^{2}}{3} \cdot 3$

단계 6.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1.1

$- \frac{x^{2}}{3}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$3 x = \frac{- x^{2}}{3} \cdot 3$

단계 6.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$3 x = \frac{- x^{2}}{3} \cdot 3$

단계 6.3.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$3 x = - x^{2}$

단계 6.4

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

방정식의 양변에 $x^{2}$ 를 더합니다.

$3 x + x^{2} = 0$

단계 6.4.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.1

$u = x$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$3 u + u^{2} = 0$

단계 6.4.2.2

$3 u + u^{2}$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.2.1

$3 u$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

$u \cdot 3 + u^{2} = 0$

단계 6.4.2.2.2

$u^{2}$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

$u \cdot 3 + u \cdot u = 0$

단계 6.4.2.2.3

$u \cdot 3 + u \cdot u$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

$u (3 + u) = 0$

단계 6.4.2.3

$u$ 를 모두 $x$ 로 바꿉니다.

$x (3 + x) = 0$

단계 6.4.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$3 + x = 0$

단계 6.4.4

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 6.4.5

$3 + x$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.5.1

$3 + x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$3 + x = 0$

단계 6.4.5.2

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x = - 3$

단계 6.4.6

$x (3 + x) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, - 3$

단계 6.5

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = \frac{x^{2}}{3}$

단계 6.6

양변에 $3$ 을 곱합니다.

$x \cdot 3 = \frac{x^{2}}{3} \cdot 3$

단계 6.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.1.1

$x$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$3 x = \frac{x^{2}}{3} \cdot 3$

단계 6.7.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$3 x = \frac{x^{2}}{3} \cdot 3$

단계 6.7.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$3 x = x^{2}$

단계 6.8

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.8.1

방정식의 양변에서 $x^{2}$ 를 뺍니다.

$3 x - x^{2} = 0$

단계 6.8.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.8.2.1

$u = x$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$3 u - u^{2} = 0$

단계 6.8.2.2

$3 u - u^{2}$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.8.2.2.1

$3 u$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

$u \cdot 3 - u^{2} = 0$

단계 6.8.2.2.2

$- u^{2}$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

$u \cdot 3 + u (- u) = 0$

단계 6.8.2.2.3

$u \cdot 3 + u (- u)$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

$u (3 - u) = 0$

단계 6.8.2.3

$u$ 를 모두 $x$ 로 바꿉니다.

$x (3 - x) = 0$

단계 6.8.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$3 - x = 0$

단계 6.8.4

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 6.8.5

$3 - x$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.8.5.1

$3 - x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$3 - x = 0$

단계 6.8.5.2

$3 - x = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.8.5.2.1

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$- x = - 3$

단계 6.8.5.2.2

$- x = - 3$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.8.5.2.2.1

$- x = - 3$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

단계 6.8.5.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.8.5.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

단계 6.8.5.2.2.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 3}{- 1}$

단계 6.8.5.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.8.5.2.2.3.1

$- 3$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x = 3$

단계 6.8.6

$x (3 - x) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, 3$

단계 6.9

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 0, - 3, 3$

단계 7

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x = - 3$

단계 8

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = 0, - 3, 3$

$x = - 3$

단계 9

해를 하나로 합합니다.

$x = 0, - 3, 3, - 3$

단계 10

$\frac{x^{2} + | 3 x |}{x + 3}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x^{2} + | 3 x |}{x + 3}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x + 3 = 0$

단계 10.2

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x = - 3$

단계 10.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

단계 11

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

단계 12

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$x < - 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1

$x < - 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 6$

단계 12.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 6$ 로 치환합니다.

$\frac{{(- 6)}^{2} + | 3 (- 6) |}{(- 6) + 3} > 0$

단계 12.1.3

좌변 $- 18$ 이 우변 $0$ 보다 크지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 12.2

$- 3 < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1

$- 3 < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 2$

단계 12.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 2$ 로 치환합니다.

$\frac{{(- 2)}^{2} + | 3 (- 2) |}{(- 2) + 3} > 0$

단계 12.2.3

좌변 $10$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 12.3

$0 < x < 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.1

$0 < x < 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 2$

단계 12.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $2$ 로 치환합니다.

$\frac{{(2)}^{2} + | 3 (2) |}{(2) + 3} > 0$

단계 12.3.3

좌변 $2$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 12.4

$x > 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.4.1

$x > 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 6$

단계 12.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $6$ 로 치환합니다.

$\frac{{(6)}^{2} + | 3 (6) |}{(6) + 3} > 0$

단계 12.4.3

좌변 $6$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 12.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 3$ 거짓

$- 3 < x < 0$ 참

$0 < x < 3$ 참

$x > 3$ 참

$x < - 3$ 거짓

$- 3 < x < 0$ 참

$0 < x < 3$ 참

$x > 3$ 참

단계 13

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$- 3 < x < 0$ 또는 $0 < x < 3$ 또는 $x > 3$

단계 14

부등식을 구간 표기로 표현합니다.

$(- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

단계 15