유한 수학 예제

$f (x) = 6 \ln ({(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3}})$

단계 1

분수 지수가 있는 식을 근호로 변환합니다.

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단계 1.1

규칙 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 을 적용하여 지수 형태를 근호로 다시 씁니다.

$6 \ln (\sqrt[3]{{(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{1}})$

단계 1.2

모든 수의 $1$ 승은 밑 자체입니다.

$6 \ln (\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}})$

단계 2

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\ln (\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}})$ 의 진수를 $0$ 보다 크게 설정해야 합니다.

$\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}} > 0$

단계 3

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

To remove the radical on the left side of the inequality, cube both sides of the inequality.

${\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}}}^{3} > 0^{3}$

단계 3.2

부등식의 양번을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}}$ 을(를) ${(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

${({(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3}})}^{3} > 0^{3}$

단계 3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 3.2.2.1

${({(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 을 간단히 합니다.

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단계 3.2.2.1.1

${({(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.2.2.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

${(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} > 0^{3}$

단계 3.2.2.1.1.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

${(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} > 0^{3}$

단계 3.2.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

${(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{1} > 0^{3}$

단계 3.2.2.1.2

간단히 합니다.

$\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2} > 0^{3}$

단계 3.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 3.2.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2} > 0$

단계 3.3

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.3.1

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$x^{2} + 2 = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

단계 3.3.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x^{2} = - 2$

단계 3.3.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

단계 3.3.4

$\pm \sqrt{- 2}$ 을 간단히 합니다.

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단계 3.3.4.1

$- 2$ 을 $- 1 (2)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

단계 3.3.4.2

$\sqrt{- 1 (2)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

단계 3.3.4.3

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \sqrt{2}$

단계 3.3.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 3.3.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = i \sqrt{2}$

단계 3.3.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - i \sqrt{2}$

단계 3.3.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

단계 3.3.6

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x^{2} = 2$

단계 3.3.7

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{2}$

단계 3.3.8

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 3.3.8.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \sqrt{2}$

단계 3.3.8.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \sqrt{2}$

단계 3.3.8.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

단계 3.3.9

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

단계 3.3.10

해를 하나로 합합니다.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

단계 3.4

$\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 3.4.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{2} - 2 = 0$

단계 3.4.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.4.2.1

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x^{2} = 2$

단계 3.4.2.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{2}$

단계 3.4.2.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 3.4.2.3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \sqrt{2}$

단계 3.4.2.3.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \sqrt{2}$

단계 3.4.2.3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

단계 3.4.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, - \sqrt{2}) \cup (- \sqrt{2}, \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$

단계 3.5

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - \sqrt{2}$

$- \sqrt{2} < x < \sqrt{2}$

$x > \sqrt{2}$

단계 3.6

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 3.6.1

$x < - \sqrt{2}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 3.6.1.1

$x < - \sqrt{2}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 4$

단계 3.6.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 4$ 로 치환합니다.

$\sqrt[3]{\frac{{(- 4)}^{2} + 2}{{(- 4)}^{2} - 2}} > 0$

단계 3.6.1.3

좌변 $1.08738037$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 3.6.2

$- \sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 3.6.2.1

$- \sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 3.6.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$\sqrt[3]{\frac{{(0)}^{2} + 2}{{(0)}^{2} - 2}} > 0$

단계 3.6.2.3

좌변 $- 1$ 이 우변 $0$ 보다 크지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 3.6.3

$x > \sqrt{2}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 3.6.3.1

$x > \sqrt{2}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 4$

단계 3.6.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $4$ 로 치환합니다.

$\sqrt[3]{\frac{{(4)}^{2} + 2}{{(4)}^{2} - 2}} > 0$

단계 3.6.3.3

좌변 $1.08738037$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 3.6.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - \sqrt{2}$ 참

$- \sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ 거짓

$x > \sqrt{2}$ 참

$x < - \sqrt{2}$ 참

$- \sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ 거짓

$x > \sqrt{2}$ 참

단계 3.7

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x < - \sqrt{2}$ 또는 $x > \sqrt{2}$

단계 4

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{2} - 2 = 0$

단계 5

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x^{2} = 2$

단계 5.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{2}$

단계 5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 5.3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \sqrt{2}$

단계 5.3.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \sqrt{2}$

단계 5.3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

단계 6

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, - \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$

조건제시법:

${x | x < - \sqrt{2}, x > \sqrt{2}}$

단계 7