미적분 예제

$y = \frac{\sin (x) + \cos (x)}{e^{x}}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\sin (x) + \cos (x)}{e^{x}})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

단계 3.2

합의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

${(e^{x})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

단계 3.2.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

단계 3.2.2

합의 법칙에 의해 $\sin (x) + \cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

단계 3.3

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\frac{e^{x} (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

단계 3.4

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$\frac{e^{x} (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

단계 3.5

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{x} (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) e^{x}}{e^{2 x}}$

단계 3.6

간단히 합니다.

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단계 3.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) e^{x}}{e^{2 x}}$

단계 3.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) e^{x}}{e^{2 x}}$

단계 3.6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

단계 3.6.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.6.4.1

$e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 3.6.4.1.1

인수가 항 $e^{x} \cos (x)$ 과(와) $- \cos (x) e^{x}$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$\frac{e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x} - e^{x} \cos (x)}{e^{2 x}}$

단계 3.6.4.1.2

$e^{x} \cos (x)$ 에서 $e^{x} \cos (x)$ 을 뺍니다.

$\frac{e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x} + 0}{e^{2 x}}$

단계 3.6.4.1.3

$e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

단계 3.6.4.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{- e^{x} \sin (x) - \sin (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

단계 3.6.4.3

$- e^{x} \sin (x)$ 에서 $\sin (x) e^{x}$ 을 뺍니다.

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단계 3.6.4.3.1

$\sin (x)$ 를 옮깁니다.

$\frac{- e^{x} \sin (x) - 1 e^{x} \sin (x)}{e^{2 x}}$

단계 3.6.4.3.2

$- e^{x} \sin (x)$ 에서 $e^{x} \sin (x)$ 을 뺍니다.

$\frac{- 2 e^{x} \sin (x)}{e^{2 x}}$

단계 3.6.5

$e^{x}$ 및 $e^{2 x}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.6.5.1

$- 2 e^{x} \sin (x)$ 에서 $e^{2 x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{2 x} (- 2 e^{- x} \sin (x))}{e^{2 x}}$

단계 3.6.5.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.6.5.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{2 x} (- 2 e^{- x} \sin (x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

단계 3.6.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{2 x} (- 2 e^{- x} \sin (x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

단계 3.6.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 2 e^{- x} \sin (x)}{1}$

단계 3.6.5.2.4

$- 2 e^{- x} \sin (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 2 e^{- x} \sin (x)$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = - 2 e^{- x} \sin (x)$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - 2 e^{- x} \sin (x)$