미적분 예제

$y = 4 x - x^{2}$ , $y = 0$ , $x = 1$ , $x = 3$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$4 x - x^{2} = 0$

단계 1.2

$4 x - x^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1

$u = x$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$4 u - u^{2} = 0$

단계 1.2.1.2

$4 u - u^{2}$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.2.1

$4 u$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

$u \cdot 4 - u^{2} = 0$

단계 1.2.1.2.2

$- u^{2}$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

$u \cdot 4 + u (- u) = 0$

단계 1.2.1.2.3

$u \cdot 4 + u (- u)$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

$u (4 - u) = 0$

단계 1.2.1.3

$u$ 를 모두 $x$ 로 바꿉니다.

$x (4 - x) = 0$

단계 1.2.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$4 - x = 0 + y = 0$

단계 1.2.3

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 1.2.4

$4 - x$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$4 - x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$4 - x = 0$

단계 1.2.4.2

$4 - x = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$- x = - 4$

단계 1.2.4.2.2

$- x = - 4$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.2.1

$- x = - 4$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

단계 1.2.4.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

단계 1.2.4.2.2.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 4}{- 1}$

단계 1.2.4.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.2.3.1

$- 4$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x = 4$

단계 1.2.5

$x (4 - x) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, 4$

단계 1.3

$x$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$y = 0$

단계 1.4

연립방정식의 해는 모든 유효한 해의 순서쌍으로 이루어진 전체 집합입니다.

$(0, 0)$

$(4, 0)$

$(0, 0)$

$(4, 0)$

단계 2

$4 x$ 와 $- x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = - x^{2} + 4 x$

단계 3

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 각 영역의 상위 곡선의 적분값에서 하위 곡선의 적분값을 뺀 값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{1}^{3} - x^{2} + 4 x d x - \int_{1}^{3} 0 d x$

단계 4

$1$ 과(와) $3$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{1}^{3} - x^{2} + 4 x - (0) d x$

단계 4.2

$- x^{2} + 4 x$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$\int_{1}^{3} - x^{2} + 4 x d x$

단계 4.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{1}^{3} - x^{2} d x + \int_{1}^{3} 4 x d x$

단계 4.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int_{1}^{3} x^{2} d x + \int_{1}^{3} 4 x d x$

단계 4.5

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 4 x d x$

단계 4.6

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 4 x d x$

단계 4.7

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) + 4 \int_{1}^{3} x d x$

단계 4.8

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3})$

단계 4.9

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.9.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

단계 4.9.2

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.9.2.1

$3$ , $1$ 일 때, $\frac{x^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$- ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

단계 4.9.2.2

$3$ , $1$ 일 때, $\frac{x^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$- (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 4.9.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.9.2.3.1

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$- (\frac{27}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 4.9.2.3.2

$27$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.9.2.3.2.1

$27$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 4.9.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.9.2.3.2.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 4.9.2.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 4.9.2.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- (\frac{9}{1} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 4.9.2.3.2.2.4

$9$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- (9 - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 4.9.2.3.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- (9 - \frac{1}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 4.9.2.3.4

공통 분모를 가지는 분수로 $9$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 4.9.2.3.5

$9$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$- (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 4.9.2.3.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{9 \cdot 3 - 1}{3} + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 4.9.2.3.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.9.2.3.7.1

$9$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{27 - 1}{3} + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 4.9.2.3.7.2

$27$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- \frac{26}{3} + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 4.9.2.3.8

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$- \frac{26}{3} + 4 (\frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 4.9.2.3.9

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- \frac{26}{3} + 4 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2})$

단계 4.9.2.3.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{26}{3} + 4 \frac{9 - 1}{2}$

단계 4.9.2.3.11

$9$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- \frac{26}{3} + 4 (\frac{8}{2})$

단계 4.9.2.3.12

$8$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.9.2.3.12.1

$8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{26}{3} + 4 \frac{2 \cdot 4}{2}$

단계 4.9.2.3.12.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.9.2.3.12.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{26}{3} + 4 \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

단계 4.9.2.3.12.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{26}{3} + 4 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

단계 4.9.2.3.12.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{26}{3} + 4 (\frac{4}{1})$

단계 4.9.2.3.12.2.4

$4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \frac{26}{3} + 4 \cdot 4$

단계 4.9.2.3.13

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- \frac{26}{3} + 16$

단계 4.9.2.3.14

공통 분모를 가지는 분수로 $16$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{26}{3} + 16 \cdot \frac{3}{3}$

단계 4.9.2.3.15

$16$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{26}{3} + \frac{16 \cdot 3}{3}$

단계 4.9.2.3.16

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 26 + 16 \cdot 3}{3}$

단계 4.9.2.3.17

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.9.2.3.17.1

$16$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{- 26 + 48}{3}$

단계 4.9.2.3.17.2

$- 26$ 를 $48$ 에 더합니다.

$\frac{22}{3}$

단계 5