미적분 예제

$y = 2 x^{2}$ , $y = x^{3}$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$2 x^{2} = x^{3}$

단계 1.2

$2 x^{2} = x^{3}$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

방정식의 양변에서 $x^{3}$ 를 뺍니다.

$2 x^{2} - x^{3} = 0$

단계 1.2.2

$2 x^{2} - x^{3}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$2 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} \cdot 2 - x^{3} = 0$

단계 1.2.2.2

$- x^{3}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} \cdot 2 + x^{2} (- x) = 0$

단계 1.2.2.3

$x^{2} \cdot 2 + x^{2} (- x)$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} (2 - x) = 0$

단계 1.2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x^{2} = 0$

$2 - x = 0 + y = x^{3}$

단계 1.2.4

$x^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$x^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} = 0$

단계 1.2.4.2

$x^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{0}$

단계 1.2.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.2.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

단계 1.2.4.2.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 1.2.4.2.2.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 1.2.5

$2 - x$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1

$2 - x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 - x = 0$

단계 1.2.5.2

$2 - x = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.1

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$- x = - 2$

단계 1.2.5.2.2

$- x = - 2$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.2.1

$- x = - 2$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

단계 1.2.5.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

단계 1.2.5.2.2.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 2}{- 1}$

단계 1.2.5.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.2.3.1

$- 2$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x = 2$

단계 1.2.6

$x^{2} (2 - x) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, 2$

단계 1.3

$x = 0$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$x$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$y = {(0)}^{3}$

단계 1.3.2

$y = {(0)}^{3}$ 에서 $x$ 에 $0$ 을 대입하고 $y$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = 0^{3}$

단계 1.3.2.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$y = 0$

단계 1.4

$x = 2$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$x$ 에 $2$ 를 대입합니다.

$y = {(2)}^{3}$

단계 1.4.2

$y = {(2)}^{3}$ 에서 $x$ 에 $2$ 을 대입하고 $y$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = 2^{3}$

단계 1.4.2.2

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$y = 8$

단계 1.5

연립방정식의 해는 모든 유효한 해의 순서쌍으로 이루어진 전체 집합입니다.

$(0, 0)$

$(2, 8)$

$(0, 0)$

$(2, 8)$

단계 2

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 각 영역의 상위 곡선의 적분값에서 하위 곡선의 적분값을 뺀 값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{0}^{2} 2 x^{2} d x - \int_{0}^{2} x^{3} d x$

단계 3

$0$ 과(와) $2$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{0}^{2} 2 x^{2} - (x^{3}) d x$

단계 3.2

$- 1$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

$\int_{0}^{2} 2 x^{2} - x^{3} d x$

단계 3.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{0}^{2} 2 x^{2} d x + \int_{0}^{2} - x^{3} d x$

단계 3.4

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} - x^{3} d x$

단계 3.5

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - x^{3} d x$

단계 3.6

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - x^{3} d x$

단계 3.7

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) - \int_{0}^{2} x^{3} d x$

단계 3.8

멱의 법칙에 의해 $x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} x^{4}$ 가 됩니다.

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) - (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2})$

단계 3.9

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.1

$\frac{1}{4}$ 와 $x^{4}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2})$

단계 3.9.2

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.2.1

$2$ , $0$ 일 때, $\frac{x^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$2 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2})$

단계 3.9.2.2

$2$ , $0$ 일 때, $\frac{x^{4}}{4}$ 값을 계산합니다.

$2 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 3.9.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.2.3.1

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$2 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 3.9.2.3.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$2 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 3.9.2.3.3

$0$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.2.3.3.1

$0$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$2 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 3.9.2.3.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.2.3.3.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$2 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 3.9.2.3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$2 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 3.9.2.3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$2 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 3.9.2.3.3.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 (\frac{8}{3} - 0) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 3.9.2.3.4

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{8}{3} + 0) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 3.9.2.3.5

$\frac{8}{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 (\frac{8}{3}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 3.9.2.3.6

$2$ 와 $\frac{8}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \cdot 8}{3} - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 3.9.2.3.7

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{16}{3} - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 3.9.2.3.8

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$\frac{16}{3} - (\frac{16}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 3.9.2.3.9

$16$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.2.3.9.1

$16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{16}{3} - (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 3.9.2.3.9.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.2.3.9.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{16}{3} - (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 3.9.2.3.9.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{16}{3} - (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 3.9.2.3.9.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{16}{3} - (\frac{4}{1} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 3.9.2.3.9.2.4

$4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{16}{3} - (4 - \frac{0^{4}}{4})$

단계 3.9.2.3.10

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{16}{3} - (4 - \frac{0}{4})$

단계 3.9.2.3.11

$0$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.2.3.11.1

$0$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{16}{3} - (4 - \frac{4 (0)}{4})$

단계 3.9.2.3.11.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.2.3.11.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{16}{3} - (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

단계 3.9.2.3.11.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{16}{3} - (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

단계 3.9.2.3.11.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{16}{3} - (4 - \frac{0}{1})$

단계 3.9.2.3.11.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{16}{3} - (4 - 0)$

단계 3.9.2.3.12

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{16}{3} - (4 + 0)$

단계 3.9.2.3.13

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{16}{3} - 1 \cdot 4$

단계 3.9.2.3.14

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{16}{3} - 4$

단계 3.9.2.3.15

공통 분모를 가지는 분수로 $- 4$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{16}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3}$

단계 3.9.2.3.16

$- 4$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{16}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3}$

단계 3.9.2.3.17

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{16 - 4 \cdot 3}{3}$

단계 3.9.2.3.18

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.2.3.18.1

$- 4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{16 - 12}{3}$

단계 3.9.2.3.18.2

$16$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$\frac{4}{3}$

단계 4