미적분 예제

$f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = x + 1$ , $g (x) = x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.2

미분합니다.

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단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.2.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.2.4

식을 간단히 합니다.

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단계 1.2.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.2.4.2

$x - 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.2.5

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.2.7

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.2.8

식을 간단히 합니다.

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단계 1.2.8.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.2.8.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x - 1 - x - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.3.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.3.2.1

$x - 1 - x - 1 \cdot 1$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 1.3.2.1.1

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{0 - 1 - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.3.2.1.2

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{- 1 - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.3.2.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 1 - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.3.2.3

$- 1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{- 2}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = - \frac{2}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{2}{{(x - 1)}^{2}}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}]$ 입니다.

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}]$

단계 2.1.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 2.1.2.1

$\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ 을 ${({(x - 1)}^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 2 \frac{d}{d x} [{({(x - 1)}^{2})}^{- 1}]$

단계 2.1.2.2

${({(x - 1)}^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.1.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- 2 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2 \cdot - 1}]$

단계 2.1.2.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{- 2}]$

단계 2.2

$f (x) = x^{- 2}$ , $g (x) = x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$- 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

단계 2.2.2

$n = - 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 1])$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$- 2 (- 2 {(x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 1])$

단계 2.3

미분합니다.

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단계 2.3.1

$- 2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$4 ({(x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 1])$

단계 2.3.2

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$4 {(x - 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 2.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 {(x - 1)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 2.3.4

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$4 {(x - 1)}^{- 3} (1 + 0)$

단계 2.3.5

식을 간단히 합니다.

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단계 2.3.5.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 {(x - 1)}^{- 3} \cdot 1$

단계 2.3.5.2

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 {(x - 1)}^{- 3}$

단계 2.4

간단히 합니다.

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단계 2.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$4 \frac{1}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 2.4.2

$4$ 와 $\frac{1}{{(x - 1)}^{3}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{4}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $\frac{4}{{(x - 1)}^{3}}$ 입니다.

$\frac{4}{{(x - 1)}^{3}}$