미적분 예제

$f (x) = x^{2} + x - 12$ ; $[0, 24]$

단계 1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 2

$f (x)$ 는 $[0, 24]$ 에서 연속입니다.

$f (x)$ 는 연속입니다

단계 3

$[a, b]$ 구간에서의 함수 $f$ 의 평균값은 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 로 정의됩니다.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

단계 4

실제값을 함수의 평균값을 구하는 공식에 대입합니다.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\int_{0}^{24} x^{2} + x - 12 d x)$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\int_{0}^{24} x^{2} d x + \int_{0}^{24} x d x + \int_{0}^{24} - 12 d x)$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{24} + \int_{0}^{24} x d x + \int_{0}^{24} - 12 d x)$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{24} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{24} + \int_{0}^{24} - 12 d x)$

단계 8

상수 규칙을 적용합니다.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{24} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{24} + - 12 x]_{0}^{24})$

단계 9

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{24}$ 와 $\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{24}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{24} + - 12 x]_{0}^{24})$

단계 9.1.2

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{24}$ 와 $- 12 x]_{0}^{24}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 12 x]_{0}^{24})$

단계 9.2

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

$24$ , $0$ 일 때, $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 12 x$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} ((\frac{1}{3} \cdot 24^{3} + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

단계 9.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.2.1

$24$ 를 $3$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{1}{3} \cdot 13824 + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

단계 9.2.2.2

$\frac{1}{3}$ 와 $13824$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{13824}{3} + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

단계 9.2.2.3

$13824$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.2.3.1

$13824$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{3 \cdot 4608}{3} + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

단계 9.2.2.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.2.3.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{3 \cdot 4608}{3 (1)} + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

단계 9.2.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{3 \cdot 4608}{3 \cdot 1} + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

단계 9.2.2.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{4608}{1} + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

단계 9.2.2.3.2.4

$4608$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

단계 9.2.2.4

$24$ 를 $2$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + \frac{1}{2} \cdot 576 - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

단계 9.2.2.5

$\frac{1}{2}$ 와 $576$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + \frac{576}{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

단계 9.2.2.6

$576$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.2.6.1

$576$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + \frac{2 \cdot 288}{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

단계 9.2.2.6.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.2.6.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + \frac{2 \cdot 288}{2 (1)} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

단계 9.2.2.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + \frac{2 \cdot 288}{2 \cdot 1} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

단계 9.2.2.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + \frac{288}{1} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

단계 9.2.2.6.2.4

$288$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + 288 - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

단계 9.2.2.7

$4608$ 를 $288$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4896 - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

단계 9.2.2.8

$- 12$ 에 $24$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4896 - 288 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

단계 9.2.2.9

$4896$ 에서 $288$ 을 뺍니다.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

단계 9.2.2.10

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - (\frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

단계 9.2.2.11

$\frac{1}{3}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - (0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

단계 9.2.2.12

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - (0 + \frac{1}{2} \cdot 0 - 12 \cdot 0))$

단계 9.2.2.13

$\frac{1}{2}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - (0 + 0 - 12 \cdot 0))$

단계 9.2.2.14

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - (0 - 12 \cdot 0))$

단계 9.2.2.15

$- 12$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - (0 + 0))$

단계 9.2.2.16

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - 0)$

단계 9.2.2.17

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + 0)$

단계 9.2.2.18

$4608$ 를 $0$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608)$

단계 10

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{24 + 0} \cdot 4608$

단계 10.2

$24$ 를 $0$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{24} \cdot 4608$

단계 11

$24$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$4608$ 에서 $24$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{24} \cdot (24 (192))$

단계 11.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{24} \cdot (24 \cdot 192)$

단계 11.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = 192$

단계 12