미적분 예제

$\tan (x)$

단계 1

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (x)$ 입니다.

$f' (x) = \sec^{2} (x)$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \sec (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\sec (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

단계 2.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

단계 2.1.3

$u$ 를 모두 $\sec (x)$ 로 바꿉니다.

$2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

단계 2.2

$\sec (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec (x) \tan (x)$ 입니다.

$2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))$

단계 2.3

$\sec (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x)$

단계 2.4

$\sec (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x)$

단계 2.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)$

단계 2.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]$

단계 3.2

$f (x) = \sec^{2} (x)$ , $g (x) = \tan (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)])$

단계 3.3

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (x)$ 입니다.

$2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)])$

단계 3.4

지수를 더하여 $\sec^{2} (x)$ 에 $\sec^{2} (x)$ 을 곱합니다.

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단계 3.4.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 ({\sec (x)}^{2 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)])$

단계 3.4.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)])$

단계 3.5

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \sec (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\sec (x)$ 로 바꿉니다.

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

단계 3.5.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

단계 3.5.3

$u$ 를 모두 $\sec (x)$ 로 바꿉니다.

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

단계 3.6

$\tan (x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \cdot \tan (x) \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

단계 3.7

$\sec (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec (x) \tan (x)$ 입니다.

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))$

단계 3.8

$\tan (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 (\sec^{4} (x) + 2 (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sec (x) \sec (x))$

단계 3.9

$\tan (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 (\sec^{4} (x) + 2 (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sec (x) \sec (x))$

단계 3.10

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 (\sec^{4} (x) + 2 {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) \sec (x))$

단계 3.11

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec (x) \sec (x))$

단계 3.12

$\sec (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) (\sec^{1} (x) \sec (x)))$

단계 3.13

$\sec (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)))$

단계 3.14

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) {\sec (x)}^{1 + 1})$

단계 3.15

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

단계 3.16

간단히 합니다.

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단계 3.16.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 \sec^{4} (x) + 2 (2 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

단계 3.16.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 \sec^{4} (x) + 4 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$

단계 3.16.3

항을 다시 정렬합니다.

$f''' (x) = 4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x)$