미적분 예제

$x e^{x}$

단계 1

$x e^{x}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = x e^{x}$

단계 2

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.1.3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

단계 2.1.3.2

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

단계 2.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $x e^{x} + e^{x}$ 입니다.

$x e^{x} + e^{x}$

단계 3

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $x e^{x} + e^{x} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$x e^{x} + e^{x} = 0$

단계 3.2

$x e^{x} + e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$x e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{x} x + e^{x} = 0$

단계 3.2.2

$1$ 을 곱합니다.

$e^{x} x + e^{x} \cdot 1 = 0$

단계 3.2.3

$e^{x} x + e^{x} \cdot 1$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{x} (x + 1) = 0$

단계 3.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$e^{x} = 0$

$x + 1 = 0$

단계 3.4

$e^{x}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$e^{x}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$e^{x} = 0$

단계 3.4.2

$e^{x} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

단계 3.4.2.2

$\ln (0)$ 이(가) 정의되지 않으므로 방정식을 풀 수 없습니다.

정의되지 않음

단계 3.4.2.3

$e^{x} = 0$ 에 대한 해가 없습니다.

해 없음

단계 3.5

$x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 1 = 0$

단계 3.5.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 3.6

$e^{x} (x + 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 1$

단계 4

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $- 1$ 입니다.

$- 1$

단계 5

도함수 $f' (x) = x e^{x} + e^{x}$ 가 $0$ 이 되거나 정의되지 않는 점을 구한 후 $(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$ 구간에서 $f (x) = x e^{x}$ 가 증가하는지, 감소하는지를 확인합니다.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

단계 6

$(- \infty, - 1)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f' (- 2) = (- 2) \cdot e^{- 2} + e^{- 2}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f' (- 2) = - 2 \cdot \frac{1}{e^{2}} + e^{- 2}$

단계 6.2.1.2

$- 2$ 와 $\frac{1}{e^{2}}$ 을 묶습니다.

$f' (- 2) = \frac{- 2}{e^{2}} + e^{- 2}$

단계 6.2.1.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (- 2) = - \frac{2}{e^{2}} + e^{- 2}$

단계 6.2.1.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f' (- 2) = - \frac{2}{e^{2}} + \frac{1}{e^{2}}$

단계 6.2.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (- 2) = \frac{- 2 + 1}{e^{2}}$

단계 6.2.2.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.2.1

$- 2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (- 2) = \frac{- 1}{e^{2}}$

단계 6.2.2.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (- 2) = - \frac{1}{e^{2}}$

단계 6.2.3

최종 답은 $- \frac{1}{e^{2}}$ 입니다.

$- \frac{1}{e^{2}}$

단계 6.3

$x = - 2$ 에서의 도함수는 $- \frac{1}{e^{2}}$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- \infty, - 1)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, - 1)$ 에서 감소함

단계 7

$(- 1, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f' (0) = (0) \cdot e^{0} + e^{0}$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$f' (0) = 0 \cdot 1 + e^{0}$

단계 7.2.1.2

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (0) = 0 + e^{0}$

단계 7.2.1.3

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$f' (0) = 0 + 1$

단계 7.2.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (0) = 1$

단계 7.2.3

최종 답은 $1$ 입니다.

$1$

단계 7.3

$x = 0$ 에서의 도함수는 $1$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(- 1, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(- 1, \infty)$ 에서 증가함

단계 8

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(- 1, \infty)$

다음 구간에서 감소: $(- \infty, - 1)$

단계 9