미적분 예제

$f (x) = \frac{1}{x} + x$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{x} + x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- x^{- 2} + 1$

단계 1.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{x^{2}} + 1$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $- \frac{1}{x^{2}} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$f (x) = - 1$ , $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

단계 2.2.2

$\frac{1}{x^{2}}$ 을 ${(x^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

단계 2.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

단계 2.2.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

단계 2.2.3.3

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

단계 2.2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

단계 2.2.5

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

단계 2.2.6

${(x^{2})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.2.6.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

단계 2.2.6.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

단계 2.2.7

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

단계 2.2.8

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = - (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

단계 2.2.9

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

단계 2.2.10

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

단계 2.2.11

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

단계 2.2.12

$\frac{1}{x^{2}}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 0 + \frac{d}{d x} (1)$

단계 2.2.13

$2 x^{- 3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (1)$

단계 2.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 0$

단계 2.4

간단히 합니다.

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단계 2.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{x^{3}}) + 0$

단계 2.4.2

항을 묶습니다.

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단계 2.4.2.1

$2$ 와 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} + 0$

단계 2.4.2.2

$\frac{2}{x^{3}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1.1

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{x} + x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1.2.1

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.1.2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- x^{- 2} + 1$

단계 4.1.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 1$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- \frac{1}{x^{2}} + 1$ 입니다.

$- \frac{1}{x^{2}} + 1$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$ 을 풉니다.

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단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

단계 5.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$- \frac{1}{x^{2}} = - 1$

단계 5.3

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

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단계 5.3.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$x^{2}, 1$

단계 5.3.2

1과 식의 최소공배수는 그 식 자체입니다.

$x^{2}$

단계 5.4

$- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ 의 각 항에 $x^{2}$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

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단계 5.4.1

$- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ 의 각 항에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

단계 5.4.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.4.2.1

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.4.2.1.1

$- \frac{1}{x^{2}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

단계 5.4.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

단계 5.4.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$- 1 = - x^{2}$

단계 5.5

식을 풉니다.

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단계 5.5.1

$- x^{2} = - 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- x^{2} = - 1$

단계 5.5.2

$- x^{2} = - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.5.2.1

$- x^{2} = - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 5.5.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.5.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 5.5.2.2.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 5.5.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.5.2.3.1

$- 1$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = 1$

단계 5.5.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{1}$

단계 5.5.4

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$x = \pm 1$

단계 5.5.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 5.5.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 1$

단계 5.5.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 1$

단계 5.5.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 1, - 1$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 6.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{1}{x^{2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{2} = 0$

단계 6.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 6.2.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{0}$

단계 6.2.2

$\pm \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

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단계 6.2.2.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

단계 6.2.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 6.2.2.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 7

계산할 임계점.

$x = 1, - 1$

단계 8

$x = 1$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$\frac{2}{{(1)}^{3}}$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

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단계 9.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{2}{1}$

단계 9.2

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2$

단계 10

이계도함수가 양수이므로 $x = 1$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 1$ 은 극소값입니다.

단계 11

$x = 1$ 일 때 y값을 구합니다.

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단계 11.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f (1) = \frac{1}{1} + 1$

단계 11.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 11.2.1

괄호를 제거합니다.

$f (1) = \frac{1}{1} + 1$

단계 11.2.2

$1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (1) = 1 + 1$

단계 11.2.3

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (1) = 2$

단계 11.2.4

최종 답은 $2$ 입니다.

$y = 2$

단계 12

$x = - 1$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$\frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

단계 13

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{2}{- 1}$

단계 13.2

$2$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$- 2$

단계 14

이계도함수가 음수이므로 $x = - 1$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = - 1$ 은 극대값입니다

단계 15

$x = - 1$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$f (- 1) = \frac{1}{- 1} - 1$

단계 15.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1

괄호를 제거합니다.

$f (- 1) = \frac{1}{- 1} - 1$

단계 15.2.2

$1$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$f (- 1) = - 1 - 1$

단계 15.2.3

$- 1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f (- 1) = - 2$

단계 15.2.4

최종 답은 $- 2$ 입니다.

$y = - 2$

단계 16

$f (x) = \frac{1}{x} + x$ 에 대한 극값입니다.

$(1, 2)$ 은 극솟값임

$(- 1, - 2)$ 은 극댓값임

단계 17