미적분 예제

\sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{n}

$\sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{n}$

단계 1

공식

\frac{a}{1 - r}

$\frac{a}{1 - r}$ 을 사용하여 무한 기하급수의 합을 구할 수 있습니다. 여기서

a

$a$ 은 첫 번째 항이고

r

$r$ 는 연속 항 간의 비율입니다.

단계 2

공식

r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}

$r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ 에 대입하고 간단히 정리하여 연속 항의 비율을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

a_{n}

$a_{n}$ ,

a_{n + 1}

$a_{n + 1}$ 을

r

$r$ 공식에 대입합니다.

r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n + 1}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n + 1}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}$

단계 2.2

{(\frac{1}{2})}^{n + 1}

${(\frac{1}{2})}^{n + 1}$ 및

{(\frac{1}{2})}^{n}

${(\frac{1}{2})}^{n}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

{(\frac{1}{2})}^{n + 1}

${(\frac{1}{2})}^{n + 1}$ 에서

{(\frac{1}{2})}^{n}

${(\frac{1}{2})}^{n}$ 를 인수분해합니다.

r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}$

단계 2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

1

$1$ 을 곱합니다.

r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n} \cdot 1}

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n} \cdot 1}$

단계 2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n} \cdot 1}

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n} \cdot 1}$

단계 2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

r = \frac{\frac{1}{2}}{1}

$r = \frac{\frac{1}{2}}{1}$

단계 2.2.2.4

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 을

1

$1$ 로 나눕니다.

r = \frac{1}{2}

$r = \frac{1}{2}$

r = \frac{1}{2}

$r = \frac{1}{2}$

r = \frac{1}{2}

$r = \frac{1}{2}$

r = \frac{1}{2}

$r = \frac{1}{2}$

단계 3

Since

| r | < 1

$| r | < 1$ , the series converges.

단계 4

하계에 대입하고 간단히 정리하여 급수의 첫 번째 항을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

n

$n$ 의

0

$0$ 을

{(\frac{1}{2})}^{n}

${(\frac{1}{2})}^{n}$ 에 대입합니다.

a = {(\frac{1}{2})}^{0}

$a = {(\frac{1}{2})}^{0}$

단계 4.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

a = \frac{1^{0}}{2^{0}}

$a = \frac{1^{0}}{2^{0}}$

단계 4.2.2

모든 수의

0

$0$ 승은

1

$1$ 입니다.

a = \frac{1}{2^{0}}

$a = \frac{1}{2^{0}}$

단계 4.2.3

모든 수의

0

$0$ 승은

1

$1$ 입니다.

a = \frac{1}{1}

$a = \frac{1}{1}$

단계 4.2.4

1

$1$ 을

1

$1$ 로 나눕니다.

a = 1

$a = 1$

a = 1

$a = 1$

a = 1

$a = 1$

단계 5

비율과 첫 번째 항의 값을 합 공식에 대입합니다.

\frac{1}{1 - \frac{1}{2}}

$\frac{1}{1 - \frac{1}{2}}$

단계 6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

\frac{1}{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}

$\frac{1}{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

단계 6.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

\frac{1}{\frac{2 - 1}{2}}

$\frac{1}{\frac{2 - 1}{2}}$

단계 6.1.3

2

$2$ 에서

1

$1$ 을 뺍니다.

\frac{1}{\frac{1}{2}}

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

\frac{1}{\frac{1}{2}}

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

단계 6.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

1 \cdot 2

$1 \cdot 2$

단계 6.3

2

$2$ 에

1

$1$ 을 곱합니다.

2

$2$

2

$2$