미적분 예제

lim x \to - \infty x e^{x}

$lim_{x \to - \infty} x e^{x}$

단계 1

x e^{x}

$x e^{x}$ 을

\frac{x}{e^{- x}}

$\frac{x}{e^{- x}}$ 로 바꿔 씁니다.

lim x \to - \infty \frac{x}{e^{- x}}

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- x}}$

단계 2

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 2.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 2.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

\frac{lim x \to - \infty x}{lim x \to - \infty e^{- x}}

$\frac{lim_{x \to - \infty} x}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

단계 2.1.2

최고차항이 양수인 홀수 차수의 다항식에 대한 음의 무한대에서의 극한값은 음의 무한대입니다.

\frac{- \infty}{lim x \to - \infty e^{- x}}

$\frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

단계 2.1.3

지수

- x

$- x$ 이

\infty

$\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량

e^{- x}

$e^{- x}$ 가

\infty

$\infty$ 에 가까워집니다.

\frac{- \infty}{\infty}

$\frac{- \infty}{\infty}$

단계 2.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

\frac{- \infty}{\infty}

$\frac{- \infty}{\infty}$

단계 2.2

\frac{- \infty}{\infty}

$\frac{- \infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

lim x \to - \infty \frac{x}{e^{- x}} = lim x \to - \infty \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

단계 2.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 2.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

lim x \to - \infty \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

단계 2.3.2

n = 1

$n = 1$ 일 때

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

lim x \to - \infty \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

단계 2.3.3

f (x) = e^{x}

$f (x) = e^{x}$ ,

g (x) = - x

$g (x) = - x$ 일 때

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해

$u$ 를

$- x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}$

단계 2.3.3.2

$a$ =

$e$ 일 때

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은

$a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [- x]}$

단계 2.3.3.3

$u$ 를 모두

$- x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}$

단계 2.3.4

$- 1$ 은

$x$ 에 대해 일정하므로

$x$ 에 대한

$- x$ 의 미분은

$- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])}$

단계 2.3.5

$n = 1$ 일 때

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는

$n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} (- 1 \cdot 1)}$

단계 2.3.6

$- 1$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \cdot - 1}$

단계 2.3.7

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로

$- 1$ 이동하기

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- 1 \cdot e^{- x}}$

단계 2.3.8

$- 1 e^{- x}$ 을

$- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{- x}}$

단계 2.4

$1$ 및

$- 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.4.1

$1$ 을

$- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 1 (- 1)}{- e^{- x}}$

단계 2.4.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$lim_{x \to - \infty} - \frac{1}{e^{- x}}$

단계 3

$- 1$ 항은

$x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x}}$

단계 4

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수

$\frac{1}{e^{- x}}$ 는

$0$ 에 가까워집니다.

$- 0$

단계 5

$- 1$ 에

$0$ 을 곱합니다.

$0$