미적분 예제

$\sin^{2} (θ)$

단계 1

$\sin^{2} (θ)$ 을 함수로 씁니다.

$f (θ) = \sin^{2} (θ)$

단계 2

함수 $F (θ)$ 는 도함수 $f (θ)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (θ) = \int f (θ) d θ$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (θ) = \int \sin^{2} (θ) d θ$

단계 4

반각 공식을 이용해 $\sin^{2} (θ)$ 를 $\frac{1 - \cos (2 θ)}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1 - \cos (2 θ)}{2} d θ$

단계 5

$\frac{1}{2}$ 은 $θ$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 θ) d θ$

단계 6

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{2} (\int d θ + \int - \cos (2 θ) d θ)$

단계 7

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} (θ + C + \int - \cos (2 θ) d θ)$

단계 8

$- 1$ 은 $θ$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (θ + C - \int \cos (2 θ) d θ)$

단계 9

먼저 $u = 2 θ$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d θ$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d θ$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$u = 2 θ$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d θ}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$2 θ$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d θ} [2 θ]$

단계 9.1.2

$2$ 은 $θ$ 에 대해 일정하므로 $θ$ 에 대한 $2 θ$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d θ} [θ]$

단계 9.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ 는 $n θ^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 9.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 9.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} (θ + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

단계 10

$\cos (u)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (θ + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

단계 11

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (θ + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

단계 12

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\sin (u)$ 입니다.

$\frac{1}{2} (θ + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

단계 13

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} (θ - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

단계 14

$u$ 를 모두 $2 θ$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (θ - \frac{1}{2} \sin (2 θ)) + C$

단계 15

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

$\sin (2 θ)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (θ - \frac{\sin (2 θ)}{2}) + C$

단계 15.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} θ + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 θ)}{2}) + C$

단계 15.3

$\frac{1}{2}$ 와 $θ$ 을 묶습니다.

$\frac{θ}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 θ)}{2}) + C$

단계 15.4

$\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 θ)}{2})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.4.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{\sin (2 θ)}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{θ}{2} - \frac{\sin (2 θ)}{2 \cdot 2} + C$

단계 15.4.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{θ}{2} - \frac{\sin (2 θ)}{4} + C$

단계 16

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} θ - \frac{1}{4} \sin (2 θ) + C$

단계 17

답은 함수 $f (θ) = \sin^{2} (θ)$ 의 역도함수입니다.

$F (θ) =$ $\frac{1}{2} θ - \frac{1}{4} \sin (2 θ) + C$