미적분 예제

$x = 2 y - y^{2}$

단계 1

$2 y$ 와 $- y^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$x = - y^{2} + 2 y$

단계 2

주어진 포물선의 성질을 알아봅니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

방정식을 꼭짓점 형태로 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$- y^{2} + 2 y$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = - 1$

$b = 2$

$c = 0$

단계 2.1.1.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 2.1.1.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

단계 2.1.1.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.3.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

단계 2.1.1.3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{1}{- 1}$

단계 2.1.1.3.2.1.3

$\frac{1}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$d = - 1 \cdot 1$

단계 2.1.1.3.2.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$d = - 1$

단계 2.1.1.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 1}$

단계 2.1.1.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.4.2.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

단계 2.1.1.4.2.1.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{4}{- 4}$

단계 2.1.1.4.2.1.3

$4$ 을 $- 4$ 로 나눕니다.

$e = 0 - - 1$

단계 2.1.1.4.2.1.4

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e = 0 + 1$

단계 2.1.1.4.2.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$e = 1$

단계 2.1.1.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $- {(y - 1)}^{2} + 1$ 에 대입합니다.

$- {(y - 1)}^{2} + 1$

단계 2.1.2

$x$ 를 오른쪽 항과 같다고 놓습니다.

$x = - {(y - 1)}^{2} + 1$

단계 2.2

표준형인 $x = a {(y - k)}^{2} + h$ 를 사용하여 $a$ , $h$ , $k$ 의 값을 구합니다

$a = - 1$

$h = 1$

$k = 1$

단계 2.3

$a$ 값이 음수이므로 이 포물선은 왼쪽으로 열린 형태입니다.

왼쪽으로 열림

단계 2.4

꼭짓점 $(h, k)$ 를 구합니다.

$(1, 1)$

단계 2.5

꼭짓점으로부터 초점까지의 거리인 $p$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

다음의 공식을 이용하여 꼭짓점으로부터 포물선의 초점까지의 거리를 구합니다.

$\frac{1}{4 a}$

단계 2.5.2

$a$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

단계 2.5.3

$1$ 및 $- 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.3.1

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

단계 2.5.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{4}$

단계 2.6

초점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

포물선이 왼쪽 또는 오른쪽으로 열린 경우, 포물선의 초점은 x좌표 $h$ 에 $p$ 를 더해서 구할 수 있습니다.

$(h + p, k)$

단계 2.6.2

알고 있는 값인 $h$ , $p$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(\frac{3}{4}, 1)$

단계 2.7

꼭짓점과 초점을 지나는 직선을 구하여 대칭축을 구합니다.

$y = 1$

단계 2.8

준선을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.1

포물선이 왼쪽 또는 오른쪽으로 열린 경우 포물선의 준선은 꼭짓점의 x좌표 $h$ 에서 $p$ 를 뺀 값의 수직선입니다.

$x = h - p$

단계 2.8.2

알고 있는 값인 $p$ 와 $h$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$x = \frac{5}{4}$

단계 2.9

포물선의 성질을 이용해 포물선을 분석하고 그래프를 그립니다.

방향: 왼쪽으로 열림

꼭짓점: $(1, 1)$

초점: $(\frac{3}{4}, 1)$

대칭축: $y = 1$

준선: $x = \frac{5}{4}$

방향: 왼쪽으로 열림

꼭짓점: $(1, 1)$

초점: $(\frac{3}{4}, 1)$

대칭축: $y = 1$

준선: $x = \frac{5}{4}$

단계 3

여러 $x$ 값을 선택하고 식에 대입하여 해당하는 $y$ 값을 구합니다. 꼭짓점 주위의 $x$ 값을 선택해야 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$x$ 값인 $- 1$ 를 $f (x) = 1 + \sqrt{1 - x}$ 에 대입합니다. 여기에서 점은 $(- 1, 2.41421356)$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$f (- 1) = 1 + \sqrt{1 - (- 1)}$

단계 3.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (- 1) = 1 + \sqrt{1 + 1}$

단계 3.1.2.1.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (- 1) = 1 + \sqrt{2}$

단계 3.1.2.2

최종 답은 $1 + \sqrt{2}$ 입니다.

$y = 1 + \sqrt{2}$

단계 3.1.3

$1 + \sqrt{2}$ 를 소수로 변환합니다.

$= 2.41421356$

단계 3.2

$x$ 값인 $- 1$ 를 $f (x) = 1 - \sqrt{1 - x}$ 에 대입합니다. 여기에서 점은 $(- 1, - 0.41421356)$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$f (- 1) = 1 - \sqrt{1 - (- 1)}$

단계 3.2.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (- 1) = 1 - \sqrt{1 + 1}$

단계 3.2.2.1.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (- 1) = 1 - \sqrt{2}$

단계 3.2.2.2

최종 답은 $1 - \sqrt{2}$ 입니다.

$y = 1 - \sqrt{2}$

단계 3.2.3

$1 - \sqrt{2}$ 를 소수로 변환합니다.

$= - 0.41421356$

단계 3.3

$x$ 값인 $0$ 를 $f (x) = 1 + \sqrt{1 - x}$ 에 대입합니다. 여기에서 점은 $(0, 2)$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = 1 + \sqrt{1 - (0)}$

단계 3.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 1 + \sqrt{1 + 0}$

단계 3.3.2.1.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (0) = 1 + \sqrt{1}$

단계 3.3.2.1.3

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$f (0) = 1 + 1$

단계 3.3.2.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (0) = 2$

단계 3.3.2.3

최종 답은 $2$ 입니다.

$y = 2$

단계 3.3.3

$2$ 를 소수로 변환합니다.

$= 2$

단계 3.4

$x$ 값인 $0$ 를 $f (x) = 1 - \sqrt{1 - x}$ 에 대입합니다. 여기에서 점은 $(0, 0)$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = 1 - \sqrt{1 - (0)}$

단계 3.4.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1.1

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 1 - \sqrt{1 + 0}$

단계 3.4.2.1.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (0) = 1 - \sqrt{1}$

단계 3.4.2.1.3

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$f (0) = 1 - 1 \cdot 1$

단계 3.4.2.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (0) = 1 - 1$

단계 3.4.2.2

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f (0) = 0$

단계 3.4.2.3

최종 답은 $0$ 입니다.

$y = 0$

단계 3.4.3

$0$ 를 소수로 변환합니다.

$= 0$

단계 3.5

포물선의 성질과 선택한 점을 이용하여 포물선의 그래프를 그립니다.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 2.41 \\ - 1 & - 0.41 \\ 0 & 2 \\ 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}$

단계 4

포물선의 성질과 선택한 점을 이용하여 포물선의 그래프를 그립니다.

방향: 왼쪽으로 열림

꼭짓점: $(1, 1)$

초점: $(\frac{3}{4}, 1)$

대칭축: $y = 1$

준선: $x = \frac{5}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 2.41 \\ - 1 & - 0.41 \\ 0 & 2 \\ 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}$

단계 5