미적분 예제

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{e^{x^{2}}}$

단계 1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{3}}{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}$

단계 1.2

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}$

단계 1.3

지수 $x^{2}$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{x^{2}}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{e^{x^{2}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

단계 3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

단계 3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

단계 3.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 3.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 3.3.3

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{x^{2}} (2 x)}$

단계 3.5

간단히 합니다.

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단계 3.5.1

$e^{x^{2}} (2 x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{2 e^{x^{2}} x}$

단계 3.5.2

$2 e^{x^{2}} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{2 x e^{x^{2}}}$

단계 4

극한값을 계산합니다.

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단계 4.1

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.1.1

$3 x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x)}{2 x e^{x^{2}}}$

단계 4.1.2

공약수로 약분합니다.

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단계 4.1.2.1

$2 x e^{x^{2}}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x)}{x (2 e^{x^{2}})}$

단계 4.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x)}{x (2 e^{x^{2}})}$

단계 4.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x}{2 e^{x^{2}}}$

단계 4.2

$\frac{3}{2}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x^{2}}}$

단계 5

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 5.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 5.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}$

단계 5.1.2

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}$

단계 5.1.3

지수 $x^{2}$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{x^{2}}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

단계 5.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

단계 5.2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x^{2}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

단계 5.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 5.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

단계 5.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

단계 5.3.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 5.3.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 5.3.3.3

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 5.3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x^{2}} \cdot 2 x}$

단계 5.3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.5.1

$e^{x^{2}} (2 x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 e^{x^{2}} x}$

단계 5.3.5.2

$2 e^{x^{2}} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x e^{x^{2}}}$

단계 6

$\frac{1}{2}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x e^{x^{2}}}$

단계 7

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x e^{x^{2}}}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 0$

단계 8

답을 간단히 합니다.

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단계 8.1

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

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단계 8.1.1

$\frac{3}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot 0$

단계 8.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{4} \cdot 0$

단계 8.2

$\frac{3}{4}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0$