미적분 예제

$y = x + 2 \sin (x)$

단계 1

$y = x + 2 \sin (x)$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = x + 2 \sin (x)$

단계 2

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $x + 2 \sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

단계 2.1.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 \sin (x)$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 입니다.

$1 + 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 2.2.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$1 + 2 \cos (x)$

단계 3

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

합의 법칙에 의해 $1 + 2 \cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

단계 3.1.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 \cos (x)$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 입니다.

$f'' (x) = 0 + 2 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

단계 3.2.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$f'' (x) = 0 + 2 (- \sin (x))$

단계 3.2.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 0 - 2 \sin (x)$

단계 3.3

$0$ 에서 $2 \sin (x)$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = - 2 \sin (x)$

단계 4

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$1 + 2 \cos (x) = 0$

단계 5

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$2 \cos (x) = - 1$

단계 6

$2 \cos (x) = - 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$2 \cos (x) = - 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

단계 6.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

단계 6.2.1.2

$\cos (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

단계 6.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

단계 7

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

단계 8

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$\arccos (- \frac{1}{2})$ 의 정확한 값은 $\frac{2 π}{3}$ 입니다.

$x = \frac{2 π}{3}$

단계 9

코사인 함수는 제2사분면과 제3사분면에서 음의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제3사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

단계 10

$2 π - \frac{2 π}{3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

단계 10.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

$2 π$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

단계 10.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

단계 10.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

단계 10.3.2

$6 π$ 에서 $2 π$ 을 뺍니다.

$x = \frac{4 π}{3}$

단계 11

방정식 $x = \frac{2 π}{3}$ 의 해.

$x = \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}$

단계 12

$x = \frac{2 π}{3}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

단계 13

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$- 2 \sin (\frac{π}{3})$

단계 13.2

$\sin (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$- 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 13.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.3.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 13.3.2

공약수로 약분합니다.

$2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 13.3.3

수식을 다시 씁니다.

$- 1 \sqrt{3}$

단계 13.4

$- 1 \sqrt{3}$ 을 $- \sqrt{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \sqrt{3}$

단계 14

이계도함수가 음수이므로 $x = \frac{2 π}{3}$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = \frac{2 π}{3}$ 은 극대값입니다

단계 15

$x = \frac{2 π}{3}$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{2 π}{3}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{2 π}{3}) = (\frac{2 π}{3}) + 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

단계 15.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + 2 \sin (\frac{π}{3})$

단계 15.2.1.2

$\sin (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

단계 15.2.1.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

단계 15.2.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

단계 15.2.2

최종 답은 $\frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$ 입니다.

$y = \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

단계 16

$x = \frac{4 π}{3}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

단계 17

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제3사분면에서 사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$- 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

단계 17.2

$\sin (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$- 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

단계 17.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.3.1

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$- 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

단계 17.3.2

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

단계 17.3.3

공약수로 약분합니다.

$2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

단계 17.3.4

수식을 다시 씁니다.

$- 1 (- \sqrt{3})$

단계 17.4

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \sqrt{3}$

단계 17.4.2

$\sqrt{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\sqrt{3}$

단계 18

이계도함수가 양수이므로 $x = \frac{4 π}{3}$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = \frac{4 π}{3}$ 은 극소값입니다.

단계 19

$x = \frac{4 π}{3}$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{4 π}{3}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{4 π}{3}) = (\frac{4 π}{3}) + 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

단계 19.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.2.1.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제3사분면에서 사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} + 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

단계 19.2.1.2

$\sin (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

단계 19.2.1.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.2.1.3.1

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} + 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

단계 19.2.1.3.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} + 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

단계 19.2.1.3.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$

단계 19.2.2

최종 답은 $\frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$ 입니다.

$y = \frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$

단계 20

$f (x) = x + 2 \sin (x)$ 에 대한 극값입니다.

$(\frac{2 π}{3}, \frac{2 π}{3} + \sqrt{3})$ 은 극댓값임

$(\frac{4 π}{3}, \frac{4 π}{3} - \sqrt{3})$ 은 극솟값임

단계 21