미적분 예제

$\frac{\tan (6 x)}{\sin (2 x)}$

단계 1

$\tan (6 x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{\frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)}}{\sin (2 x)}]$

단계 2

$\frac{\frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)}}{\sin (2 x)}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)}]$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

$\frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)}$ 을 $\tan (6 x)$ 로 변환합니다.

$\frac{d}{d x} [\tan (6 x) \frac{1}{\sin (2 x)}]$

단계 3.2

$\frac{1}{\sin (2 x)}$ 을 $\csc (2 x)$ 로 변환합니다.

$\frac{d}{d x} [\tan (6 x) \csc (2 x)]$

단계 4

$f (x) = \tan (6 x)$ , $g (x) = \csc (2 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\tan (6 x) \frac{d}{d x} [\csc (2 x)] + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (6 x)]$

단계 5

$f (x) = \csc (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\tan (6 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (6 x)]$

단계 5.2

$\csc (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ 입니다.

$\tan (6 x) (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (6 x)]$

단계 5.3

$u_{1}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\tan (6 x) (- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (6 x)]$

단계 6

미분합니다.

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단계 6.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\tan (6 x) (- \csc (2 x) \cot (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (6 x)]$

단계 6.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\tan (6 x) (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (6 x)]$

단계 6.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\tan (6 x) (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x) \cdot 1) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (6 x)]$

단계 6.4

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\tan (6 x) (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (6 x)]$

단계 7

$f (x) = \tan (x)$ , $g (x) = 6 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 7.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $6 x$ 로 바꿉니다.

$\tan (6 x) (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)) + \csc (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x])$

단계 7.2

$\tan (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (u_{2})$ 입니다.

$\tan (6 x) (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)) + \csc (2 x) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [6 x])$

단계 7.3

$u_{2}$ 를 모두 $6 x$ 로 바꿉니다.

$\tan (6 x) (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)) + \csc (2 x) (\sec^{2} (6 x) \frac{d}{d x} [6 x])$

단계 8

미분합니다.

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단계 8.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\tan (6 x) (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)) + \csc (2 x) \sec^{2} (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])$

단계 8.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\tan (6 x) (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)) + \csc (2 x) \sec^{2} (6 x) (6 \cdot 1)$

단계 8.3

식을 간단히 합니다.

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단계 8.3.1

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\tan (6 x) (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)) + \csc (2 x) \sec^{2} (6 x) \cdot 6$

단계 8.3.2

$\csc (2 x) \sec^{2} (6 x)$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$\tan (6 x) (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)) + 6 \cdot (\csc (2 x) \sec^{2} (6 x))$

단계 8.3.3

항을 다시 정렬합니다.

$- 2 \cot (2 x) \csc (2 x) \tan (6 x) + 6 \sec^{2} (6 x) \csc (2 x)$