미적분 예제

$\int {(1 - \cos (x))}^{2} d x$

단계 1

${(1 - \cos (x))}^{2}$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

${(1 - \cos (x))}^{2}$ 을 $(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$ 로 바꿔 씁니다.

$\int (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x)) d x$

단계 1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\int 1 (1 - \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x)) d x$

단계 1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\int 1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x)) d x$

단계 1.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\int 1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

단계 1.5

$\cos (x)$ 를 옮깁니다.

$\int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 \cos (x) - 1 \cdot 1 \cos (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

단계 1.6

$\cos (x)$ 를 옮깁니다.

$\int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 \cos (x) - 1 \cdot 1 \cos (x) - 1 \cdot - 1 \cos (x) \cos (x) d x$

단계 1.7

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int 1 + 1 \cdot - 1 \cos (x) - 1 \cdot 1 \cos (x) - 1 \cdot - 1 \cos (x) \cos (x) d x$

단계 1.8

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int 1 - \cos (x) - 1 \cdot 1 \cos (x) - 1 \cdot - 1 \cos (x) \cos (x) d x$

단계 1.9

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) - 1 \cdot - 1 \cos (x) \cos (x) d x$

단계 1.10

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + 1 \cos (x) \cos (x) d x$

단계 1.11

$\cos (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

단계 1.12

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) d x$

단계 1.13

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) d x$

단계 1.14

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} d x$

단계 1.15

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{2} (x) d x$

단계 1.16

$- \cos (x)$ 에서 $\cos (x)$ 을 뺍니다.

$\int 1 - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x) d x$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int d x + \int - 2 \cos (x) d x + \int \cos^{2} (x) d x$

단계 3

상수 규칙을 적용합니다.

$x + C + \int - 2 \cos (x) d x + \int \cos^{2} (x) d x$

단계 4

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x + C - 2 \int \cos (x) d x + \int \cos^{2} (x) d x$

단계 5

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\sin (x)$ 입니다.

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \int \cos^{2} (x) d x$

단계 6

반각 공식을 이용해 $\cos^{2} (x)$ 를 $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

단계 7

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

단계 8

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

단계 9

상수 규칙을 적용합니다.

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (2 x) d x)$

단계 10

먼저 $u = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$u = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 10.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 10.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 10.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 10.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

단계 11

$\cos (u)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

단계 12

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

단계 13

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\sin (u)$ 입니다.

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

단계 14

간단히 합니다.

$x - 2 \sin (x) + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

단계 15

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$x - 2 \sin (x) + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

단계 16

간단히 합니다.

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단계 16.1

$\frac{1}{2}$ 와 $\sin (2 x)$ 을 묶습니다.

$x - 2 \sin (x) + \frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

단계 16.2

분배 법칙을 적용합니다.

$x - 2 \sin (x) + \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

단계 16.3

$\frac{1}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$x - 2 \sin (x) + \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

단계 16.4

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ 을 곱합니다.

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단계 16.4.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{\sin (2 x)}{2}$ 을 곱합니다.

$x - 2 \sin (x) + \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

단계 16.4.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x - 2 \sin (x) + \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

단계 17

항을 다시 정렬합니다.

$x - 2 \sin (x) + \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$