미적분 예제

\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{sin (7 π x)} cos (7 π x) d x

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{\sin (7 π x)} \cos (7 π x) d x$

단계 1

먼저

u_{2} = sin (7 π x)

$u_{2} = \sin (7 π x)$ 로 정의합니다. 그러면

d u_{2} = 7 π cos (7 π x) d x

$d u_{2} = 7 π \cos (7 π x) d x$ 이므로

\frac{1}{7 π} d u_{2} = cos (7 π x) d x

$\frac{1}{7 π} d u_{2} = \cos (7 π x) d x$ 가 됩니다. 이 식을

u_{2}

$u_{2}$ 와

d

$d$

u_{2}

$u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

u_{2} = sin (7 π x)

$u_{2} = \sin (7 π x)$ 로 둡니다.

\frac{d u_{2}}{d x}

$\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

sin (7 π x)

$\sin (7 π x)$ 를 미분합니다.

\frac{d}{d x} [sin (7 π x)]

$\frac{d}{d x} [\sin (7 π x)]$

단계 1.1.2

f (x) = sin (x)

$f (x) = \sin (x)$ ,

g (x) = 7 π x

$g (x) = 7 π x$ 일 때

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는

$f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해

$u_{1}$ 를

$7 π x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [7 π x]$

단계 1.1.2.2

$\sin (u_{1})$ 를

$u_{1}$ 에 대해 미분하면

$\cos (u_{1})$ 입니다.

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [7 π x]$

단계 1.1.2.3

$u_{1}$ 를 모두

$7 π x$ 로 바꿉니다.

$\cos (7 π x) \frac{d}{d x} [7 π x]$

단계 1.1.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$7 π$ 은

$x$ 에 대해 일정하므로

$x$ 에 대한

$7 π x$ 의 미분은

$7 π \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\cos (7 π x) (7 π \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는

$n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cos (7 π x) (7 π \cdot 1)$

단계 1.1.3.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.3.1

$7$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$\cos (7 π x) (7 π)$

단계 1.1.3.3.2

$\cos (7 π x)$ 의 왼쪽으로

$7$ 이동하기

$7 \cdot \cos (7 π x) π$

단계 1.1.3.3.3

$7 \cos (7 π x) π$ 인수를 다시 정렬합니다.

$7 π \cos (7 π x)$

단계 1.2

$u_{2} = \sin (7 π x)$ 의

$x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \sin (7 π \cdot 0)$

단계 1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$7 π \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1

$0$ 에

$7$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = \sin (0 π)$

단계 1.3.1.2

$0$ 에

$π$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = \sin (0)$

단계 1.3.2

$\sin (0)$ 의 정확한 값은

$0$ 입니다.

$u_{lower} = 0$

단계 1.4

$u_{2} = \sin (7 π x)$ 의

$x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \sin (7 π \frac{π}{2})$

단계 1.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$7 π \frac{π}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1.1

$\frac{π}{2}$ 와

$7$ 을 묶습니다.

$u_{upper} = \sin (\frac{π \cdot 7}{2} π)$

단계 1.5.1.2

$\frac{π \cdot 7}{2}$ 와

$π$ 을 묶습니다.

$u_{upper} = \sin (\frac{π \cdot 7 π}{2})$

단계 1.5.1.3

$π$ 를

$1$ 승 합니다.

$u_{upper} = \sin (\frac{7 (π^{1} π)}{2})$

단계 1.5.1.4

$π$ 를

$1$ 승 합니다.

$u_{upper} = \sin (\frac{7 (π^{1} π^{1})}{2})$

단계 1.5.1.5

지수 법칙

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$u_{upper} = \sin (\frac{7 π^{1 + 1}}{2})$

단계 1.5.1.6

$1$ 를

$1$ 에 더합니다.

$u_{upper} = \sin (\frac{7 π^{2}}{2})$

단계 1.5.2

$\sin (\frac{7 π^{2}}{2})$ 의 값을 구합니다.

$u_{upper} = 0.01390333$

단계 1.6

$u_{lower}$ ,

$u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 0.01390333$

단계 1.7

$u_{2}$ 와

$d u_{2}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{0.01390333} e^{u_{2}} \frac{1}{7 π} d u_{2}$

단계 2

$e^{u_{2}}$ 와

$\frac{1}{7 π}$ 을 묶습니다.

$\int_{0}^{0.01390333} \frac{e^{u_{2}}}{7 π} d u_{2}$

단계 3

$\frac{1}{7 π}$ 은

$u_{2}$ 에 대해 상수이므로,

$\frac{1}{7 π}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{7 π} \int_{0}^{0.01390333} e^{u_{2}} d u_{2}$

단계 4

$e^{u_{2}}$ 를

$u_{2}$ 에 대해 적분하면

$e^{u_{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{7 π} e^{u_{2}}]_{0}^{0.01390333}$

단계 5

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$0.01390333$ ,

$0$ 일 때,

$e^{u_{2}}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{7 π} ((e^{0.01390333}) - e^{0})$

단계 5.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

모든 수의

$0$ 승은

$1$ 입니다.

$\frac{1}{7 π} (e^{0.01390333} - 1 \cdot 1)$

단계 5.2.2

$- 1$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{7 π} (e^{0.01390333} - 1)$

단계 6

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{1}{7 π} \cdot (e^{0.01390333} - 1)$

소수 형태:

$0.00063663 \dots$