미적분 예제

$\int \sin (2 x) + \cos^{2} (2 x) d x$

단계 1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \sin (2 x) d x + \int \cos^{2} (2 x) d x$

단계 2

먼저 $u_{1} = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$u_{1} = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 2.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 2.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \sin (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} + \int \cos^{2} (2 x) d x$

단계 3

$\sin (u_{1})$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\sin (u_{1})}{2} d u_{1} + \int \cos^{2} (2 x) d x$

단계 4

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \cos^{2} (2 x) d x$

단계 5

$\sin (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $- \cos (u_{1})$ 입니다.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos^{2} (2 x) d x$

단계 6

먼저 $u_{2} = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$u_{2} = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 6.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 6.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 6.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 6.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos^{2} (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

단계 7

$\cos^{2} (u_{2})$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \frac{\cos^{2} (u_{2})}{2} d u_{2}$

단계 8

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} \int \cos^{2} (u_{2}) d u_{2}$

단계 9

반각 공식을 이용해 $\cos^{2} (u_{2})$ 를 $\frac{1 + \cos (2 u_{2})}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1 + \cos (2 u_{2})}{2} d u_{2}$

단계 10

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{2}) d u_{2})$

단계 11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 + \cos (2 u_{2}) d u_{2}$

단계 11.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} \int 1 + \cos (2 u_{2}) d u_{2}$

단계 12

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} (\int d u_{2} + \int \cos (2 u_{2}) d u_{2})$

단계 13

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} (u_{2} + C + \int \cos (2 u_{2}) d u_{2})$

단계 14

먼저 $u_{3} = 2 u_{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{3} = 2 d u_{2}$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{3} = d u_{2}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{3}$ 와 $d$ $u_{3}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$u_{3} = 2 u_{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1.1

$2 u_{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}]$

단계 14.1.2

$2$ 은 $u_{2}$ 에 대해 일정하므로 $u_{2}$ 에 대한 $2 u_{2}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$

단계 14.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 14.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 14.2

$u_{3}$ 와 $d u_{3}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} (u_{2} + C + \int \cos (u_{3}) \frac{1}{2} d u_{3})$

단계 15

$\cos (u_{3})$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} (u_{2} + C + \int \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

단계 16

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{3}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} (u_{2} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{3}) d u_{3})$

단계 17

$\cos (u_{3})$ 를 $u_{3}$ 에 대해 적분하면 $\sin (u_{3})$ 입니다.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} (u_{2} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C))$

단계 18

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.1

간단히 합니다.

$- \frac{\cos (u_{1})}{2} + \frac{1}{4} (u_{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{3})) + C$

단계 18.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{4} (u_{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{3}))$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{\cos (u_{1})}{2} + \frac{1}{4} (u_{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{3})) \cdot \frac{2}{2} + C$

단계 18.2.2

$\frac{1}{4} (u_{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{3}))$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\cos (u_{1})}{2} + \frac{\frac{1}{4} (u_{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{3})) \cdot 2}{2} + C$

단계 18.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- \cos (u_{1}) + \frac{1}{4} (u_{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{3})) \cdot 2}{2} + C$

단계 18.2.4

$\frac{1}{2}$ 와 $\sin (u_{3})$ 을 묶습니다.

$\frac{- \cos (u_{1}) + \frac{1}{4} (u_{2} + \frac{\sin (u_{3})}{2}) \cdot 2}{2} + C$

단계 18.2.5

$2$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{- \cos (u_{1}) + \frac{2}{4} (u_{2} + \frac{\sin (u_{3})}{2})}{2} + C$

단계 18.2.6

$2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.2.6.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- \cos (u_{1}) + \frac{2 (1)}{4} (u_{2} + \frac{\sin (u_{3})}{2})}{2} + C$

단계 18.2.6.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.2.6.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- \cos (u_{1}) + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} (u_{2} + \frac{\sin (u_{3})}{2})}{2} + C$

단계 18.2.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{- \cos (u_{1}) + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} (u_{2} + \frac{\sin (u_{3})}{2})}{2} + C$

단계 18.2.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} (u_{2} + \frac{\sin (u_{3})}{2})}{2} + C$

단계 19

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.1

$u_{1}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (u_{2} + \frac{\sin (u_{3})}{2})}{2} + C$

단계 19.2

$u_{2}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (2 x + \frac{\sin (u_{3})}{2})}{2} + C$

단계 19.3

$u_{3}$ 를 모두 $2 u_{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (2 x + \frac{\sin (2 u_{2})}{2})}{2} + C$

단계 19.4

$u_{2}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2})}{2} + C$

단계 20

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (2 x + \frac{\sin (4 x)}{2})}{2} + C$

단계 20.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2}}{2} + C$

단계 20.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.3.1

$2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (2 (x)) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2}}{2} + C$

단계 20.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2}}{2} + C$

단계 20.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- \cos (2 x) + x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2}}{2} + C$

단계 20.4

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.4.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{\sin (4 x)}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{- \cos (2 x) + x + \frac{\sin (4 x)}{2 \cdot 2}}{2} + C$

단계 20.4.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- \cos (2 x) + x + \frac{\sin (4 x)}{4}}{2} + C$

단계 21

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 21.1

$- \cos (2 x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (\cos (2 x)) + x + \frac{\sin (4 x)}{4}}{2} + C$

단계 21.2

$x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (\cos (2 x)) - 1 (- x) + \frac{\sin (4 x)}{4}}{2} + C$

단계 21.3

$- (\cos (2 x)) - 1 (- x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (\cos (2 x) - x) + \frac{\sin (4 x)}{4}}{2} + C$

단계 21.4

$\frac{\sin (4 x)}{4}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (\cos (2 x) - x) - \frac{- \sin (4 x)}{4}}{2} + C$

단계 21.5

$- (\cos (2 x) - x) - \frac{- \sin (4 x)}{4}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (\cos (2 x) - x + \frac{- \sin (4 x)}{4})}{2} + C$

단계 21.6

$- (\cos (2 x) - x + \frac{- \sin (4 x)}{4})$ 을 $- 1 (\cos (2 x) - x + \frac{- \sin (4 x)}{4})$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (\cos (2 x) - x + \frac{- \sin (4 x)}{4})}{2} + C$

단계 21.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{\cos (2 x) - x + \frac{- \sin (4 x)}{4}}{2} + C$

단계 21.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{\cos (2 x) - x - \frac{\sin (4 x)}{4}}{2} + C$

단계 21.9

항을 다시 정렬합니다.

$- \frac{1}{2} (\cos (2 x) - x - \frac{1}{4} \sin (4 x)) + C$