미적분 예제

$\int \sin (2 x) \sec^{5} (2 x) d x$

단계 1

간단히 합니다.

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단계 1.1

$\sec (2 x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\int \sin (2 x) {(\frac{1}{\cos (2 x)})}^{5} d x$

단계 1.2

$\frac{1}{\cos (2 x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int \sin (2 x) \frac{1^{5}}{\cos^{5} (2 x)} d x$

단계 1.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\int \sin (2 x) \frac{1}{\cos^{5} (2 x)} d x$

단계 1.4

$\sin (2 x)$ 와 $\frac{1}{\cos^{5} (2 x)}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\sin (2 x)}{\cos^{5} (2 x)} d x$

단계 1.5

$\cos^{5} (2 x)$ 에서 $\cos (2 x)$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \cos^{4} (2 x)} d x$

단계 1.6

분수를 나눕니다.

$\int \frac{1}{\cos^{4} (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} d x$

단계 1.7

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ 을 $\tan (2 x)$ 로 변환합니다.

$\int \frac{1}{\cos^{4} (2 x)} \tan (2 x) d x$

단계 1.8

$\frac{1}{\cos^{4} (2 x)}$ 와 $\tan (2 x)$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\tan (2 x)}{\cos^{4} (2 x)} d x$

단계 1.9

$\cos^{4} (2 x)$ 에서 $\cos (2 x)$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{\tan (2 x)}{\cos (2 x) \cos^{3} (2 x)} d x$

단계 1.10

분수를 나눕니다.

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} \cdot \frac{\tan (2 x)}{\cos (2 x)} d x$

단계 1.11

$\tan (2 x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} \cdot \frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)} d x$

단계 1.12

$\frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} (\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}) d x$

단계 1.13

간단히 합니다.

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단계 1.13.1

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ 을 $\tan (2 x)$ 로 변환합니다.

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} (\tan (2 x) \frac{1}{\cos (2 x)}) d x$

단계 1.13.2

$\frac{1}{\cos (2 x)}$ 을 $\sec (2 x)$ 로 변환합니다.

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

단계 1.14

$\frac{1}{\cos^{3} (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x))$ 을 곱합니다.

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단계 1.14.1

$\tan (2 x)$ 와 $\frac{1}{\cos^{3} (2 x)}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\tan (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} \sec (2 x) d x$

단계 1.14.2

$\frac{\tan (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}$ 와 $\sec (2 x)$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\tan (2 x) \sec (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} d x$

단계 1.15

$\cos^{3} (2 x)$ 에서 $\cos (2 x)$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{\tan (2 x) \sec (2 x)}{\cos (2 x) \cos^{2} (2 x)} d x$

단계 1.16

분수를 나눕니다.

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} \cdot \frac{\tan (2 x)}{\cos (2 x)} d x$

단계 1.17

$\tan (2 x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} \cdot \frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)} d x$

단계 1.18

$\frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} (\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}) d x$

단계 1.19

간단히 합니다.

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단계 1.19.1

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ 을 $\tan (2 x)$ 로 변환합니다.

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} (\tan (2 x) \frac{1}{\cos (2 x)}) d x$

단계 1.19.2

$\frac{1}{\cos (2 x)}$ 을 $\sec (2 x)$ 로 변환합니다.

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

단계 1.20

$\cos^{2} (2 x)$ 에서 $\cos (2 x)$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos (2 x) \cos (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

단계 1.21

분수를 나눕니다.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\sec (2 x)}{\cos (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

단계 1.22

$\sec (2 x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

단계 1.23

$\frac{\frac{1}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\frac{1}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

단계 1.24

간단히 합니다.

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단계 1.24.1

$\frac{1}{\cos (2 x)}$ 을 $\sec (2 x)$ 로 변환합니다.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec (2 x) \frac{1}{\cos (2 x)}) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

단계 1.24.2

$\frac{1}{\cos (2 x)}$ 을 $\sec (2 x)$ 로 변환합니다.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

단계 1.24.3

$\sec (2 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec^{1} (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

단계 1.24.4

$\sec (2 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x)) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

단계 1.24.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} {\sec (2 x)}^{1 + 1} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

단계 1.24.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} \sec^{2} (2 x) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

단계 1.25

지수를 더하여 $\sec^{2} (2 x)$ 에 $\sec (2 x)$ 을 곱합니다.

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단계 1.25.1

$\sec (2 x)$ 를 옮깁니다.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec (2 x) \sec^{2} (2 x)) \tan (2 x) d x$

단계 1.25.2

$\sec (2 x)$ 에 $\sec^{2} (2 x)$ 을 곱합니다.

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단계 1.25.2.1

$\sec (2 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec^{1} (2 x) \sec^{2} (2 x)) \tan (2 x) d x$

단계 1.25.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} {\sec (2 x)}^{1 + 2} \tan (2 x) d x$

단계 1.25.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) d x$

단계 1.26

$\frac{1}{\cos (2 x)}$ 을 $\sec (2 x)$ 로 변환합니다.

$\int \sec (2 x) \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) d x$

단계 1.27

지수를 더하여 $\sec (2 x)$ 에 $\sec^{3} (2 x)$ 을 곱합니다.

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단계 1.27.1

$\sec (2 x)$ 에 $\sec^{3} (2 x)$ 을 곱합니다.

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단계 1.27.1.1

$\sec (2 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \sec^{1} (2 x) \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) d x$

단계 1.27.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int {\sec (2 x)}^{1 + 3} \tan (2 x) d x$

단계 1.27.2

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\int \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) d x$

단계 2

먼저 $u_{2} = \sec (2 x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 2 \sec (2 x) \tan (2 x) d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{2} = \sec (2 x) \tan (2 x) d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u_{2} = \sec (2 x)$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$\sec (2 x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

단계 2.1.2

$f (x) = \sec (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2.1.2.2

$\sec (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ 입니다.

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2.1.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2.1.3

미분합니다.

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단계 2.1.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)$

단계 2.1.3.3

식을 간단히 합니다.

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단계 2.1.3.3.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2$

단계 2.1.3.3.2

$\sec (2 x) \tan (2 x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \sec (2 x) \tan (2 x)$

단계 2.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int {u_{2}}^{3} \frac{1}{2} d u_{2}$

단계 3

${u_{2}}^{3}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{{u_{2}}^{3}}{2} d u_{2}$

단계 4

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

단계 5

멱의 법칙에 의해 ${u_{2}}^{3}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$ 을 $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

단계 6.2

간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 \cdot 4} {u_{2}}^{4} + C$

단계 6.2.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{8} {u_{2}}^{4} + C$

단계 7

$u_{2}$ 를 모두 $\sec (2 x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{8} \sec^{4} (2 x) + C$