미적분 예제

$\int p {(p + 8)}^{6} d p$

단계 1

먼저 $u = p + 8$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d p$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u = p + 8$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d p}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$p + 8$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d p} [p + 8]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $p + 8$ 를 $p$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [8]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [8]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ 는 $n p^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d p} [8]$

단계 1.1.4

$8$ 이 $p$ 에 대해 일정하므로, $8$ 를 $p$ 에 대해 미분하면 $8$ 입니다.

$1 + 0$

단계 1.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int (u - 8) u^{6} d u$

단계 2

$(u - 8) u^{6}$ 을 곱합니다.

$\int u \cdot u^{6} - 8 u^{6} d u$

단계 3

지수를 더하여 $u$ 에 $u^{6}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$u$ 에 $u^{6}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int u^{1} u^{6} - 8 u^{6} d u$

단계 3.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int u^{1 + 6} - 8 u^{6} d u$

단계 3.2

$1$ 를 $6$ 에 더합니다.

$\int u^{7} - 8 u^{6} d u$

단계 4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int u^{7} d u + \int - 8 u^{6} d u$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $u^{7}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{8} u^{8}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{8} u^{8} + C + \int - 8 u^{6} d u$

단계 6

$- 8$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 8$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{8} u^{8} + C - 8 \int u^{6} d u$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $u^{6}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{7} u^{7}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{8} u^{8} + C - 8 (\frac{1}{7} u^{7} + C)$

단계 8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

간단히 합니다.

$\frac{1}{8} u^{8} - 8 (\frac{1}{7}) u^{7} + C$

단계 8.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$- 8$ 와 $\frac{1}{7}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{8} u^{8} + \frac{- 8}{7} u^{7} + C$

단계 8.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{8} u^{8} - \frac{8}{7} u^{7} + C$

단계 9

$u$ 를 모두 $p + 8$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{8} {(p + 8)}^{8} - \frac{8}{7} {(p + 8)}^{7} + C$