미적분 예제

$\int_{π}^{3 π} \cot^{2} (\frac{x}{6}) d x$

단계 1

먼저 $u = \frac{x}{6}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \frac{1}{6} d x$ 이므로 $6 d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = \frac{x}{6}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$\frac{x}{6}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{6}]$

단계 1.1.2

$\frac{1}{6}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{6}$ 의 미분은 $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{6} \cdot 1$

단계 1.1.4

$\frac{1}{6}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{6}$

단계 1.2

$u = \frac{x}{6}$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

단계 1.3

$u = \frac{x}{6}$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \frac{3 π}{6}$

단계 1.4

$3$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.4.1

$3 π$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$u_{upper} = \frac{3 (π)}{6}$

단계 1.4.2

공약수로 약분합니다.

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단계 1.4.2.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$u_{upper} = \frac{3 π}{3 \cdot 2}$

단계 1.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$u_{upper} = \frac{3 π}{3 \cdot 2}$

단계 1.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

단계 1.5

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

단계 1.6

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{6}} d u$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{6}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (u) (1 \cdot 6) d u$

단계 2.2

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (u) \cdot 6 d u$

단계 2.3

$\cot^{2} (u)$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 6 \cot^{2} (u) d u$

단계 3

$6$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $6$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$6 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (u) d u$

단계 4

피타고라스 항등식을 이용하여 $\cot^{2} (u)$ 를 $- 1 + \csc^{2} (u)$ 로 바꿔 씁니다.

$6 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - 1 + \csc^{2} (u) d u$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$6 (\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - 1 d u + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} (u) d u)$

단계 6

상수 규칙을 적용합니다.

$6 (- u]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} (u) d u)$

단계 7

$- \cot (u)$ 의 도함수는 $\csc^{2} (u)$ 이므로, $\csc^{2} (u)$ 의 적분값은 $- \cot (u)$ 이 됩니다.

$6 (- u]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + - \cot (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

단계 8

$- u]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ 와 $- \cot (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ 을 묶습니다.

$6 (- u - \cot (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

단계 9

$\frac{π}{2}$ , $\frac{π}{6}$ 일 때, $- u - \cot (u)$ 값을 계산합니다.

$6 (- \frac{π}{2} - \cot (\frac{π}{2}) - (- \frac{π}{6} - \cot (\frac{π}{6})))$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

$\cot (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$6 (- \frac{π}{2} - 0 - (- \frac{π}{6} - \cot (\frac{π}{6})))$

단계 10.2

$\cot (\frac{π}{6})$ 의 정확한 값은 $\sqrt{3}$ 입니다.

$6 (- \frac{π}{2} - 0 - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

단계 10.3

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$6 (- \frac{π}{2} + 0 - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

단계 10.4

$- \frac{π}{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$6 (- \frac{π}{2} - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

단계 10.5

공통 분모를 가지는 분수로 $- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$6 (- \frac{π}{2} - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot \frac{2}{2})$

단계 10.6

$- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$6 (- \frac{π}{2} + \frac{- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot 2}{2})$

단계 10.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$6 \frac{- π - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot 2}{2}$

단계 10.8

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$6 \frac{- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})}{2}$

단계 10.9

$6$ 와 $\frac{- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{6 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))}{2}$

단계 10.10

$6$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 10.10.1

$6 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2}$

단계 10.10.2

공약수로 약분합니다.

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단계 10.10.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2 (1)}$

단계 10.10.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2 \cdot 1}$

단계 10.10.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))}{1}$

단계 10.10.2.4

$3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$3 (- π - 2 (- \frac{π}{6}) - 2 (- \sqrt{3}))$

단계 11.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 11.2.1

$- \frac{π}{6}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$3 (- π - 2 \frac{- π}{6} - 2 (- \sqrt{3}))$

단계 11.2.2

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$3 (- π + 2 (- 1) \frac{- π}{6} - 2 (- \sqrt{3}))$

단계 11.2.3

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$3 (- π + 2 \cdot - 1 \frac{- π}{2 \cdot 3} - 2 (- \sqrt{3}))$

단계 11.2.4

공약수로 약분합니다.

$3 (- π + 2 \cdot - 1 \frac{- π}{2 \cdot 3} - 2 (- \sqrt{3}))$

단계 11.2.5

수식을 다시 씁니다.

$3 (- π - \frac{- π}{3} - 2 (- \sqrt{3}))$

단계 11.3

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$3 (- π - \frac{- π}{3} + 2 \sqrt{3})$

단계 11.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$3 (- π - - \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

단계 11.5

$- - \frac{π}{3}$ 을 곱합니다.

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단계 11.5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$3 (- π + 1 \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

단계 11.5.2

$\frac{π}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 (- π + \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

단계 11.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- π$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$3 (- π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

단계 11.7

$- π$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$3 (\frac{- π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

단계 11.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$3 (\frac{- π \cdot 3 + π}{3} + 2 \sqrt{3})$

단계 11.9

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$3 (\frac{- 3 π + π}{3} + 2 \sqrt{3})$

단계 11.10

$- 3 π$ 를 $π$ 에 더합니다.

$3 (\frac{- 2 π}{3} + 2 \sqrt{3})$

단계 11.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$3 (- \frac{2 π}{3} + 2 \sqrt{3})$

단계 11.12

분배 법칙을 적용합니다.

$3 (- \frac{2 π}{3}) + 3 (2 \sqrt{3})$

단계 11.13

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 11.13.1

$- \frac{2 π}{3}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$3 \frac{- 2 π}{3} + 3 (2 \sqrt{3})$

단계 11.13.2

공약수로 약분합니다.

$3 \frac{- 2 π}{3} + 3 (2 \sqrt{3})$

단계 11.13.3

수식을 다시 씁니다.

$- 2 π + 3 (2 \sqrt{3})$

단계 11.14

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 2 π + 6 \sqrt{3}$

단계 12

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$- 2 π + 6 \sqrt{3}$

소수 형태:

$4.10911953 \dots$