미적분 예제

$\int x (e^{x^{2}} + 2) d x$

단계 1

먼저 $u = x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int (e^{u} + 2) \frac{1}{2} d u$

단계 2

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int e^{u} + 2 d u$

단계 3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{2} (\int e^{u} d u + \int 2 d u)$

단계 4

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C + \int 2 d u)$

단계 5

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C + 2 u + C)$

단계 6

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} (e^{u} + 2 u) + C$

단계 7

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (e^{x^{2}} + 2 x^{2}) + C$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} e^{x^{2}} + \frac{1}{2} (2 x^{2}) + C$

단계 8.2

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2} (2 x^{2}) + C$

단계 8.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.3.1

$2 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2} (2 (x^{2})) + C$

단계 8.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2} (2 x^{2}) + C$

단계 8.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{e^{x^{2}}}{2} + x^{2} + C$

단계 9

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} e^{x^{2}} + x^{2} + C$