미적분 예제

$\int x \sqrt{3 x - 4} d x$

단계 1

$u = x$ 이고 $d v = \sqrt{3 x - 4}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$x (\frac{2}{9} {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{9} {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} d x$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{2}{9}$ 와 ${(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$x \frac{2 {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \int \frac{2}{9} {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} d x$

단계 2.2

$x$ 와 $\frac{2 {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{9}$ 을 묶습니다.

$\frac{x (2 {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \int \frac{2}{9} {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} d x$

단계 3

$\frac{2}{9}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{2}{9}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{x (2 {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{9} - (\frac{2}{9} \int {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} d x)$

단계 4

먼저 $u = 3 x - 4$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 3 d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 4.1

$u = 3 x - 4$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 4.1.1

$3 x - 4$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [3 x - 4]$

단계 4.1.2

합의 법칙에 의해 $3 x - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 4.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1.3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 4.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 4.1.3.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 4.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1.4.1

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$3 + 0$

단계 4.1.4.2

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3$

단계 4.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{x (2 {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{9} \int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} d u$

단계 5

$u^{\frac{3}{2}}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{x (2 {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{9} \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} d u$

단계 6

$\frac{1}{3}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{x (2 {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{9} (\frac{1}{3} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{2}{9}$ 을 곱합니다.

$\frac{x (2 {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{3 \cdot 9} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

단계 7.2

$3$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{x (2 {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{27} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{3}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{x (2 {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{27} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

$\frac{x (2 {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{27} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ 을 $\frac{2}{9} x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{27} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2}{9} x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{27} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

단계 9.2

간단히 합니다.

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단계 9.2.1

$\frac{2}{9}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x}{9} {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{27} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

단계 9.2.2

$\frac{2 x}{9}$ 와 ${(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{2}{27} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

단계 9.2.3

$\frac{2}{5}$ 에 $\frac{2}{27}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 27} u^{\frac{5}{2}} + C$

단계 9.2.4

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{5 \cdot 27} u^{\frac{5}{2}} + C$

단계 9.2.5

$5$ 에 $27$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}} + C$

단계 9.2.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{9}{9}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{9}{9} + C$

단계 9.2.7

$- \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}}$ 와 $\frac{9}{9}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{9} + \frac{- \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}} \cdot 9}{9} + C$

단계 9.2.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}} \cdot 9}{9} + C$

단계 9.2.9

$u^{\frac{5}{2}}$ 와 $\frac{4}{135}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{135} \cdot 9}{9} + C$

단계 9.2.10

$9$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 9 \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{135}}{9} + C$

단계 9.2.11

$- 9$ 와 $\frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{135}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 (u^{\frac{5}{2}} \cdot 4)}{135}}{9} + C$

단계 9.2.12

$4$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 36 u^{\frac{5}{2}}}{135}}{9} + C$

단계 9.2.13

$- 36 u^{\frac{5}{2}}$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{135}}{9} + C$

단계 9.2.14

공약수로 약분합니다.

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단계 9.2.14.1

$135$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{9 (15)}}{9} + C$

단계 9.2.14.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{9 \cdot 15}}{9} + C$

단계 9.2.14.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

단계 9.2.15

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

단계 9.2.16

공통 분모를 가지는 분수로 $2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{15}{15}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{15}{15} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

단계 9.2.17

$2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}$ 와 $\frac{15}{15}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot 15}{15} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

단계 9.2.18

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot 15 - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

단계 9.2.19

$15$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{30 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

단계 9.2.20

$\frac{\frac{30 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\frac{30 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} \cdot \frac{1}{9} + C$

단계 9.2.21

$\frac{30 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15}$ 에 $\frac{1}{9}$ 을 곱합니다.

$\frac{30 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15 \cdot 9} + C$

단계 9.2.22

$15$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{30 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{135} + C$

단계 10

$u$ 를 모두 $3 x - 4$ 로 바꿉니다.

$\frac{30 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(3 x - 4)}^{\frac{5}{2}}}{135} + C$

단계 11

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{135} (30 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(3 x - 4)}^{\frac{5}{2}}) + C$