미적분 예제

$\int_{0}^{4} \sin^{2} (x) d x$

단계 1

반각 공식을 이용해 $\sin^{2} (x)$ 를 $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{4} \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

단계 2

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{4} 1 - \cos (2 x) d x$

단계 3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{2} (\int_{0}^{4} d x + \int_{0}^{4} - \cos (2 x) d x)$

단계 4

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{4} + \int_{0}^{4} - \cos (2 x) d x)$

단계 5

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{4} - \int_{0}^{4} \cos (2 x) d x)$

단계 6

먼저 $u = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$u = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 6.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 6.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 6.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 6.2

$u = 2 x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

단계 6.3

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 6.4

$u = 2 x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 2 \cdot 4$

단계 6.5

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 8$

단계 6.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 8$

단계 6.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{4} - \int_{0}^{8} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

단계 7

$\cos (u)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{4} - \int_{0}^{8} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

단계 8

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{4} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{8} \cos (u) d u))$

단계 9

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\sin (u)$ 입니다.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{4} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{8})$

단계 10

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$4$ , $0$ 일 때, $x$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{2} ((4) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{8})$

단계 10.2

$8$ , $0$ 일 때, $\sin (u)$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{2} ((4) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (8)) - \sin (0)))$

단계 10.3

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{2} (\sin (8) - \sin (0)))$

단계 11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{2} (\sin (8) - 0))$

단계 11.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{2} (\sin (8) + 0))$

단계 11.3

$\sin (8)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{2} \sin (8))$

단계 11.4

$\sin (8)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (4 - \frac{\sin (8)}{2})$

단계 12

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$\sin (8)$ 의 값을 구합니다.

$\frac{1}{2} (4 - \frac{0.98935824}{2})$

단계 12.2

$0.98935824$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{2} (4 - 1 \cdot 0.49467912)$

단계 12.3

$- 1$ 에 $0.49467912$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (4 - 0.49467912)$

단계 12.4

$4$ 에서 $0.49467912$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} \cdot 3.50532087$

단계 12.5

$\frac{1}{2}$ 와 $3.50532087$ 을 묶습니다.

$\frac{3.50532087}{2}$

단계 12.6

$3.50532087$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$1.75266043$