미적분 예제

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 2 \sin (π - x) d x$

단계 1

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (π - x) d x$

단계 2

먼저 $u = π - x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - d x$ 이므로 $- d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u = π - x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$π - x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [π - x]$

단계 2.1.2

미분합니다.

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단계 2.1.2.1

합의 법칙에 의해 $π - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.1.2.2

$π$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $π$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $π$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - 1 \cdot 1$

단계 2.1.3.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 - 1$

단계 2.1.4

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- 1$

단계 2.2

$u = π - x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = π - 0$

단계 2.3

$π$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$u_{lower} = π$

단계 2.4

$u = π - x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = π - \frac{π}{4}$

단계 2.5

간단히 합니다.

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단계 2.5.1

공통 분모를 가지는 분수로 $π$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

단계 2.5.2

$π$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$u_{upper} = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

단계 2.5.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$u_{upper} = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

단계 2.5.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.5.4.1

$π$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$u_{upper} = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

단계 2.5.4.2

$4 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

단계 2.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

단계 2.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$2 \int_{π}^{\frac{3 π}{4}} - \sin (u) d u$

단계 3

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (- \int_{π}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u) d u)$

단계 4

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 \int_{π}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u) d u$

단계 5

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- \cos (u)$ 입니다.

$- 2 (- \cos (u)]_{π}^{\frac{3 π}{4}})$

단계 6

$\frac{3 π}{4}$ , $π$ 일 때, $- \cos (u)$ 값을 계산합니다.

$- 2 (- \cos (\frac{3 π}{4}) + \cos (π))$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.1.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$- 2 (- - \cos (\frac{π}{4}) + \cos (π))$

단계 7.1.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$- 2 (- - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (π))$

단계 7.1.3

$- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 을 곱합니다.

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단계 7.1.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 (1 \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (π))$

단계 7.1.3.2

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (π))$

단계 7.1.4

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$- 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (0))$

단계 7.1.5

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$- 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \cdot 1)$

단계 7.1.6

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - 1)$

단계 7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- 2 \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \cdot - 1$

단계 7.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.3.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (- 1) \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \cdot - 1$

단계 7.3.2

공약수로 약분합니다.

$2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \cdot - 1$

단계 7.3.3

수식을 다시 씁니다.

$- \sqrt{2} - 2 \cdot - 1$

단계 7.4

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \sqrt{2} + 2$

단계 8

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$- \sqrt{2} + 2$

소수 형태:

$0.58578643 \dots$