미적분 예제

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 2 \tan (x) \sec^{2} (x) d x$

단계 1

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (x) \sec^{2} (x) d x$

단계 2

먼저 $u = \sec (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ 이므로 $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$u = \sec (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$\sec (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

단계 2.1.2

$\sec (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec (x) \tan (x)$ 입니다.

$\sec (x) \tan (x)$

단계 2.2

$u = \sec (x)$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \sec (0)$

단계 2.3

$\sec (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$u_{lower} = 1$

단계 2.4

$u = \sec (x)$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \sec (\frac{π}{4})$

단계 2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$\sec (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 입니다.

$u_{upper} = \frac{2}{\sqrt{2}}$

단계 2.5.2

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ 에 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

단계 2.5.3

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.3.1

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ 에 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

단계 2.5.3.2

$\sqrt{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

단계 2.5.3.3

$\sqrt{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

단계 2.5.3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

단계 2.5.3.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

단계 2.5.3.6

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 2.5.3.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 2.5.3.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

단계 2.5.3.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.3.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

단계 2.5.3.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

단계 2.5.3.6.5

지수값을 계산합니다.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

단계 2.5.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.1

공약수로 약분합니다.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

단계 2.5.4.2

$\sqrt{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$u_{upper} = \sqrt{2}$

단계 2.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \sqrt{2}$

단계 2.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$2 \int_{1}^{\sqrt{2}} u d u$

단계 3

멱의 법칙에 의해 $u$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} u^{2}$ 가 됩니다.

$2 (\frac{1}{2} u^{2}]_{1}^{\sqrt{2}})$

단계 4

$\frac{1}{2}$ 와 $u^{2}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{u^{2}}{2}]_{1}^{\sqrt{2}})$

단계 5

대입하여 간단히 합니다.

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단계 5.1

$\sqrt{2}$ , $1$ 일 때, $\frac{u^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$2 ((\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

단계 5.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$2 (\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 5.2.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$2 (\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 5.2.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 5.2.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$2 (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 5.2.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$2 (\frac{2^{1}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 5.2.1.5

지수값을 계산합니다.

$2 (\frac{2}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 5.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$2 (\frac{2}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 5.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$2 (1 - \frac{1^{2}}{2})$

단계 5.2.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$2 (1 - \frac{1}{2})$

단계 5.2.4

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$2 (\frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

단계 5.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 \frac{2 - 1}{2}$

단계 5.2.6

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$2 (\frac{1}{2})$

단계 5.2.7

$2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{2}$

단계 5.2.8

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.8.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{2}$

단계 5.2.8.2

수식을 다시 씁니다.

$1$