미적분 예제

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos^{- 5} (2 x) \sin (2 x) d x$

단계 1

먼저 $u_{2} = \cos (2 x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ 이므로 $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u_{2} = \cos (2 x)$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$\cos (2 x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

단계 1.1.2

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.1.2.2

$\cos (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{1})$ 입니다.

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.1.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.1.3

미분합니다.

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단계 1.1.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.1.3.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

단계 1.1.3.4

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 \sin (2 x)$

단계 1.2

$u_{2} = \cos (2 x)$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \cos (2 \cdot 0)$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = \cos (0)$

단계 1.3.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$u_{lower} = 1$

단계 1.4

$u_{2} = \cos (2 x)$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{6})$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.5.1.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2 (3)})$

단계 1.5.1.2

공약수로 약분합니다.

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

단계 1.5.1.3

수식을 다시 씁니다.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{3})$

단계 1.5.2

$\cos (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{1}{2}$ 입니다.

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

단계 1.7

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{- 5} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{- 5} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

단계 2.2

${u_{2}}^{- 5}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - \frac{{u_{2}}^{- 5}}{2} d u_{2}$

단계 2.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${u_{2}}^{- 5}$ 를 분모로 이동합니다.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 {u_{2}}^{5}} d u_{2}$

단계 3

$- 1$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 {u_{2}}^{5}} d u_{2}$

단계 4

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{{u_{2}}^{5}} d u_{2})$

단계 5

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 5.1

${u_{2}}^{5}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} {({u_{2}}^{5})}^{- 1} d u_{2}$

단계 5.2

${({u_{2}}^{5})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 5.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{5 \cdot - 1} d u_{2}$

단계 5.2.2

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{- 5} d u_{2}$

단계 6

멱의 법칙에 의해 ${u_{2}}^{- 5}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{4} {u_{2}}^{- 4}$ 가 됩니다.

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{4} {u_{2}}^{- 4}]_{1}^{\frac{1}{2}}$

단계 7

대입하여 간단히 합니다.

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단계 7.1

$\frac{1}{2}$ , $1$ 일 때, $- \frac{1}{4} {u_{2}}^{- 4}$ 값을 계산합니다.

$- \frac{1}{2} ((- \frac{1}{4} {(\frac{1}{2})}^{- 4}) + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

단계 7.2

간단히 합니다.

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단계 7.2.1

밑을 역수로 만들어 지수의 부호를 바꿉니다.

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{4} \cdot 2^{4} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

단계 7.2.2

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{4} \cdot 16 + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

단계 7.2.3

$16$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2} (- 16 (\frac{1}{4}) + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

단계 7.2.4

$- 16$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{2} (\frac{- 16}{4} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

단계 7.2.5

$- 16$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.5.1

$- 16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{1}{2} (\frac{4 \cdot - 4}{4} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

단계 7.2.5.2

공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.5.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{1}{2} (\frac{4 \cdot - 4}{4 (1)} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

단계 7.2.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{1}{2} (\frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

단계 7.2.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{2} (\frac{- 4}{1} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

단계 7.2.5.2.4

$- 4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \frac{1}{2} (- 4 + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

단계 7.2.6

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- \frac{1}{2} (- 4 + \frac{1}{4} \cdot 1)$

단계 7.2.7

$\frac{1}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2} (- 4 + \frac{1}{4})$

단계 7.2.8

공통 분모를 가지는 분수로 $- 4$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2} (- 4 \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4})$

단계 7.2.9

$- 4$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{2} (\frac{- 4 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4})$

단계 7.2.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 4 \cdot 4 + 1}{4}$

단계 7.2.11

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.2.11.1

$- 4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 16 + 1}{4}$

단계 7.2.11.2

$- 16$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 15}{4}$

단계 7.2.12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{2} (- \frac{15}{4})$

단계 7.2.13

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 (\frac{1}{2}) \frac{15}{4}$

단계 7.2.14

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{15}{4}$

단계 7.2.15

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{15}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{15}{2 \cdot 4}$

단계 7.2.16

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{15}{8}$

단계 8

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{15}{8}$

소수 형태:

$1.875$

대분수 형식:

$1 \frac{7}{8}$