미적분 예제

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} x \cos (2 x) d x$

단계 1

$u = x$ 이고 $d v = \cos (2 x)$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$x (\frac{1}{2} \sin (2 x))]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

단계 2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $\sin (2 x)$ 을 묶습니다.

$x \frac{\sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

단계 2.2

$x$ 와 $\frac{\sin (2 x)}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

단계 3

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (2 x) d x)$

단계 4

먼저 $u = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 4.1

$u = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 4.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 4.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 4.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 4.2

$u = 2 x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

단계 4.3

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 4.4

$u = 2 x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

단계 4.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.5.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

단계 4.5.2

공약수로 약분합니다.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

단계 4.5.3

수식을 다시 씁니다.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

단계 4.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

단계 4.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

단계 5

$\sin (u)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (u)}{2} d u$

단계 6

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u)$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

단계 7.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

단계 8

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- \cos (u)$ 입니다.

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{4} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

단계 9

대입하여 간단히 합니다.

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단계 9.1

$\frac{π}{4}$ , $0$ 일 때, $\frac{x \sin (2 x)}{2}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{\frac{π}{4} \sin (2 \frac{π}{4})}{2}) - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

단계 9.2

$\frac{π}{2}$ , $0$ 일 때, $- \cos (u)$ 값을 계산합니다.

$(\frac{\frac{π}{4} \sin (2 \frac{π}{4})}{2}) - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

단계 9.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

$2$ 와 $\frac{π}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{2 π}{4})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

단계 9.3.2

$2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.2.1

$2 π$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{2 (π)}{4})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

단계 9.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.2.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

단계 9.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

단계 9.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{π}{2})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

단계 9.3.3

$\frac{π}{4}$ 와 $\sin (\frac{π}{2})$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4}}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

단계 9.3.4

$\frac{\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4}}{2}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4} \cdot \frac{1}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

단계 9.3.5

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4 \cdot 2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

단계 9.3.6

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

단계 9.3.7

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{0 \sin (0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

단계 9.3.8

$0$ 에 $\sin (0)$ 을 곱합니다.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{0}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

단계 9.3.9

$0$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.9.1

$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{2 (0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

단계 9.3.9.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.9.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

단계 9.3.9.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

단계 9.3.9.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{0}{1} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

단계 9.3.9.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - 0 - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

단계 9.3.10

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} + 0 - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

단계 9.3.11

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

단계 9.3.12

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ 을 표현하기 위해 $\frac{8}{8}$ 을 곱합니다.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{1}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot \frac{8}{8}$

단계 9.3.13

$- \frac{1}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ 와 $\frac{8}{8}$ 을 묶습니다.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} + \frac{- \frac{1}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 8}{8}$

단계 9.3.14

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) - \frac{1}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 8}{8}$

단계 9.3.15

$8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) - 8 (\frac{1}{4}) (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

단계 9.3.16

$- 8$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) + \frac{- 8}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

단계 9.3.17

$- 8$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.17.1

$- 8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) + \frac{4 \cdot - 2}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

단계 9.3.17.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.17.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) + \frac{4 \cdot - 2}{4 (1)} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

단계 9.3.17.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) + \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

단계 9.3.17.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) + \frac{- 2}{1} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

단계 9.3.17.2.4

$- 2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

단계 10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{π \cdot 1 - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

단계 10.2

$\cos (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{π \cdot 1 - 2 (- 0 + \cos (0))}{8}$

단계 10.3

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{π \cdot 1 - 2 (- 0 + 1)}{8}$

단계 10.4

$π$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{π - 2 (- 0 + 1)}{8}$

단계 10.5

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{π - 2 (0 + 1)}{8}$

단계 10.6

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{π - 2 \cdot 1}{8}$

단계 10.7

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{π - 2}{8}$

단계 11

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{π - 2}{8}$

소수 형태:

$0.14269908 \dots$