미적분 예제

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} (1 - \cos (3 t)) \sin (3 t) d t$

단계 1

먼저 $u_{2} = \cos (3 t)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = - 3 \sin (3 t) d t$ 이므로 $- \frac{1}{3} d u_{2} = \sin (3 t) d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u_{2} = \cos (3 t)$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d t}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$\cos (3 t)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

단계 1.1.2

$f (t) = \cos (t)$ , $g (t) = 3 t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $3 t$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [3 t]$

단계 1.1.2.2

$\cos (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{1})$ 입니다.

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [3 t]$

단계 1.1.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $3 t$ 로 바꿉니다.

$- \sin (3 t) \frac{d}{d t} [3 t]$

단계 1.1.3

미분합니다.

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단계 1.1.3.1

$3$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $3 t$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$- \sin (3 t) (3 \frac{d}{d t} [t])$

단계 1.1.3.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 3 \sin (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

단계 1.1.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 \sin (3 t) \cdot 1$

단계 1.1.3.4

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 3 \sin (3 t)$

단계 1.2

$u_{2} = \cos (3 t)$ 의 $t$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \cos (3 \cdot 0)$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = \cos (0)$

단계 1.3.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$u_{lower} = 1$

단계 1.4

$u_{2} = \cos (3 t)$ 의 $t$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \cos (3 \frac{π}{6})$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.5.1.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$u_{upper} = \cos (3 \frac{π}{3 (2)})$

단계 1.5.1.2

공약수로 약분합니다.

$u_{upper} = \cos (3 \frac{π}{3 \cdot 2})$

단계 1.5.1.3

수식을 다시 씁니다.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

단계 1.5.2

$\cos (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$u_{upper} = 0$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

단계 1.7

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{1}^{0} (1 - u_{2}) \frac{1}{- 3} d u_{2}$

단계 2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int_{1}^{0} (1 - u_{2}) (- \frac{1}{3}) d u_{2}$

단계 3

$(1 - u_{2}) (- \frac{1}{3})$ 을 곱합니다.

$\int_{1}^{0} 1 (- \frac{1}{3}) - u_{2} (- \frac{1}{3}) d u_{2}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int_{1}^{0} - 1 (\frac{1}{3}) - u_{2} (- \frac{1}{3}) d u_{2}$

단계 4.2

$- 1 (\frac{1}{3})$ 을 $- (\frac{1}{3})$ 로 바꿔 씁니다.

$\int_{1}^{0} - (\frac{1}{3}) - u_{2} (- \frac{1}{3}) d u_{2}$

단계 4.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int_{1}^{0} - \frac{1}{3} + 1 u_{2} \frac{1}{3} d u_{2}$

단계 4.4

$u_{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int_{1}^{0} - \frac{1}{3} + u_{2} \frac{1}{3} d u_{2}$

단계 4.5

$u_{2}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\int_{1}^{0} - \frac{1}{3} + \frac{u_{2}}{3} d u_{2}$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{1}^{0} - \frac{1}{3} d u_{2} + \int_{1}^{0} \frac{u_{2}}{3} d u_{2}$

단계 6

상수 규칙을 적용합니다.

$- \frac{1}{3} u_{2}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} \frac{u_{2}}{3} d u_{2}$

단계 7

$\frac{1}{3}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{1}{3} u_{2}]_{1}^{0} + \frac{1}{3} \int_{1}^{0} u_{2} d u_{2}$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $u_{2}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ 가 됩니다.

$- \frac{1}{3} u_{2}]_{1}^{0} + \frac{1}{3} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{1}^{0}$

단계 9

대입하여 간단히 합니다.

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단계 9.1

$0$ , $1$ 일 때, $- \frac{1}{3} u_{2}$ 값을 계산합니다.

$(- \frac{1}{3} \cdot 0) + \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{1}^{0}$

단계 9.2

$0$ , $1$ 일 때, $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ 값을 계산합니다.

$- \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

단계 9.3

간단히 합니다.

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단계 9.3.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 (\frac{1}{3}) + \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

단계 9.3.2

$0$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$0 + \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

단계 9.3.3

$\frac{1}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

단계 9.3.4

$0$ 를 $\frac{1}{3}$ 에 더합니다.

$\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

단계 9.3.5

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

단계 9.3.6

$\frac{1}{2}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (0 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

단계 9.3.7

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (0 - \frac{1}{2} \cdot 1)$

단계 9.3.8

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (0 - \frac{1}{2})$

단계 9.3.9

$0$ 에서 $\frac{1}{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{2})$

단계 9.3.10

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} - \frac{1}{3 \cdot 2}$

단계 9.3.11

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} - \frac{1}{6}$

단계 9.3.12

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{6}$

단계 9.3.13

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $6$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 9.3.13.1

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6}$

단계 9.3.13.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{6} - \frac{1}{6}$

단계 9.3.14

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 - 1}{6}$

단계 9.3.15

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{6}$

단계 10

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{1}{6}$

소수 형태:

$0.1\overline{6}$