미적분 예제

$\int_{0}^{0.9} \cos (\sqrt{6 x}) d x$

단계 1

먼저 $u_{1} = 6 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 6 d x$ 이므로 $\frac{1}{6} d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u_{1} = 6 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$6 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [6 x]$

단계 1.1.2

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$6 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 \cdot 1$

단계 1.1.4

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6$

단계 1.2

$u_{1} = 6 x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 6 \cdot 0$

단계 1.3

$6$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 1.4

$u_{1} = 6 x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 6 \cdot 0.9$

단계 1.5

$6$ 에 $0.9$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 5.4$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5.4$

단계 1.7

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{5.4} \cos (\sqrt{u_{1}}) \frac{1}{6} d u_{1}$

단계 2

$\cos (\sqrt{u_{1}})$ 와 $\frac{1}{6}$ 을 묶습니다.

$\int_{0}^{5.4} \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{6} d u_{1}$

단계 3

$\frac{1}{6}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{6}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{6} \int_{0}^{5.4} \cos (\sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

단계 4

먼저 $u_{2} = \sqrt{u_{1}}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = \frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ 이므로 $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{2} = d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

$\frac{1}{6} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} 2 u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

단계 5

$2$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{6} (2 \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2})$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$2$ 와 $\frac{1}{6}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{6} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

단계 6.2

$2$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (1)}{6} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

단계 6.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

단계 6.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

단계 6.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

단계 7

$w = u_{2}$ 이고 $dv = \cos (u_{2})$ 일 때 $\int w d v = w v - \int v d w$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\frac{1}{3} (u_{2} \sin (u_{2})]_{0}^{\sqrt{5.4}} - \int_{0}^{\sqrt{5.4}} \sin (u_{2}) d u_{2})$

단계 8

$\sin (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $- \cos (u_{2})$ 입니다.

$\frac{1}{3} (u_{2} \sin (u_{2})]_{0}^{\sqrt{5.4}} - (- \cos (u_{2})]_{0}^{\sqrt{5.4}}))$

단계 9

대입하여 간단히 합니다.

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단계 9.1

$\sqrt{5.4}$ , $0$ 일 때, $u_{2} \sin (u_{2})$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{3} ((\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4})) + 0 \sin (0) - (- \cos (u_{2})]_{0}^{\sqrt{5.4}}))$

단계 9.2

$\sqrt{5.4}$ , $0$ 일 때, $- \cos (u_{2})$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{3} ((\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\sqrt{5.4})) + \cos (0)))$

단계 9.3

간단히 합니다.

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단계 9.3.1

$0$ 에 $\sin (0)$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} (\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4}) + 0 - ((- \cos (\sqrt{5.4})) + \cos (0)))$

단계 9.3.2

$\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4})$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{3} (\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4}) - (- \cos (\sqrt{5.4}) + \cos (0)))$

단계 10

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{3} (\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4}) - (- \cos (\sqrt{5.4}) + 1))$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

$\sin (\sqrt{5.4})$ 의 값을 구합니다.

$\frac{1}{3} (\sqrt{5.4} \cdot 0.72964498 - (- \cos (\sqrt{5.4}) + 1))$

단계 11.2

$\sqrt{5.4}$ 에 $0.72964498$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} (1.69554172 - (- \cos (\sqrt{5.4}) + 1))$

단계 11.3

$\cos (\sqrt{5.4})$ 의 값을 구합니다.

$\frac{1}{3} (1.69554172 - (- - 0.68382614 + 1))$

단계 11.4

$- 1$ 에 $- 0.68382614$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} (1.69554172 - (0.68382614 + 1))$

단계 11.5

$0.68382614$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{3} (1.69554172 - 1 \cdot 1.68382614)$

단계 11.6

$- 1$ 에 $1.68382614$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} (1.69554172 - 1.68382614)$

단계 11.7

$1.69554172$ 에서 $1.68382614$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{3} \cdot 0.01171557$

단계 11.8

$\frac{1}{3}$ 와 $0.01171557$ 을 묶습니다.

$\frac{0.01171557}{3}$

단계 11.9

$0.01171557$ 을 $3$ 로 나눕니다.

$0.00390519$