미적분 예제

$\int_{0}^{1} \sqrt{t^{4} + 7 t} (4 t^{3} + 7) d t$

단계 1

먼저 $u = t^{4} + 7 t$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = (4 t^{3} + 7) d t$ 이므로 $\frac{1}{4 t^{3} + 7} d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = t^{4} + 7 t$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$t^{4} + 7 t$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [t^{4} + 7 t]$

단계 1.1.2

미분합니다.

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단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $t^{4} + 7 t$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [7 t]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [7 t]$

단계 1.1.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 t^{3} + \frac{d}{d t} [7 t]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d t} [7 t]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$7$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $7 t$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$4 t^{3} + 7 \frac{d}{d t} [t]$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 t^{3} + 7 \cdot 1$

단계 1.1.3.3

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 t^{3} + 7$

단계 1.2

$u = t^{4} + 7 t$ 의 $t$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 0^{4} + 7 \cdot 0$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.3.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$u_{lower} = 0 + 7 \cdot 0$

단계 1.3.1.2

$7$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0 + 0$

단계 1.3.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 1.4

$u = t^{4} + 7 t$ 의 $t$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 1^{4} + 7 \cdot 1$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.5.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$u_{upper} = 1 + 7 \cdot 1$

단계 1.5.1.2

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 1 + 7$

단계 1.5.2

$1$ 를 $7$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 8$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 8$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{8} \sqrt{u} d u$

단계 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int_{0}^{8} u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 3

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{8}$

단계 4

대입하여 간단히 합니다.

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단계 4.1

$8$ , $0$ 일 때, $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

단계 4.2

간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$\frac{2}{3}$ 와 $8^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

단계 4.2.2

$8$ 을 $2^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

단계 4.2.3

${(2^{3})}^{\frac{3}{2}}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.2.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{2 \cdot 2^{3 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

단계 4.2.3.2

$3 (\frac{3}{2})$ 을 곱합니다.

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단계 4.2.3.2.1

$3$ 와 $\frac{3}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{3 \cdot 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

단계 4.2.3.2.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

단계 4.2.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2^{1 + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

단계 4.2.5

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

단계 4.2.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2^{\frac{2 + 9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

단계 4.2.7

$2$ 를 $9$ 에 더합니다.

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

단계 4.2.8

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}$

단계 4.2.9

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

단계 4.2.10

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.10.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

단계 4.2.10.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3}$

단계 4.2.11

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0$

단계 4.2.12

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} + 0 (\frac{2}{3})$

단계 4.2.13

$0$ 에 $\frac{2}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} + 0$

단계 4.2.14

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3}$

단계 5

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3}$

소수 형태:

$15.08494466 \dots$

단계 6