미적분 예제

$\int_{0}^{1} {(8 y^{2} - y + 1)}^{- \frac{1}{3}} (32 y - 2) d y$

단계 1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} (32 y - 2) d y$

단계 1.2

$\frac{1}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ 에 $32 y - 2$ 을 곱합니다.

$\int_{0}^{1} \frac{32 y - 2}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

단계 1.3

$32 y - 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$32 y$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int_{0}^{1} \frac{2 (16 y) - 2}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

단계 1.3.2

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int_{0}^{1} \frac{2 (16 y) + 2 (- 1)}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

단계 1.3.3

$2 (16 y) + 2 (- 1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int_{0}^{1} \frac{2 (16 y - 1)}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

단계 2

$2$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int_{0}^{1} \frac{16 y - 1}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

단계 3

먼저 $u = 8 y^{2} - y + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = (16 y - 1) d y$ 이므로 $\frac{1}{16 y - 1} d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$u = 8 y^{2} - y + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$8 y^{2} - y + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [8 y^{2} - y + 1]$

단계 3.1.2

합의 법칙에 의해 $8 y^{2} - y + 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [8 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [8 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$

단계 3.1.3

$\frac{d}{d y} [8 y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.1

$8$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $8 y^{2}$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 입니다.

$8 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$

단계 3.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 (2 y) + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$

단계 3.1.3.3

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$16 y + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$

단계 3.1.4

$\frac{d}{d y} [- y]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.4.1

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- y$ 의 미분은 $- \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$16 y - \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

단계 3.1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$16 y - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

단계 3.1.4.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$16 y - 1 + \frac{d}{d y} [1]$

단계 3.1.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.5.1

$1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$16 y - 1 + 0$

단계 3.1.5.2

$16 y - 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$16 y - 1$

단계 3.2

$u = 8 y^{2} - y + 1$ 의 $y$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 8 \cdot 0^{2} - 0 + 1$

단계 3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$u_{lower} = 8 \cdot 0 - 0 + 1$

단계 3.3.1.2

$8$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0 - 0 + 1$

단계 3.3.1.3

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0 + 0 + 1$

단계 3.3.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 0 + 1$

단계 3.3.3

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 1$

단계 3.4

$u = 8 y^{2} - y + 1$ 의 $y$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 8 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1 + 1$

단계 3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$u_{upper} = 8 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 1$

단계 3.5.1.2

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 8 - 1 \cdot 1 + 1$

단계 3.5.1.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 8 - 1 + 1$

단계 3.5.2

$8$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$u_{upper} = 7 + 1$

단계 3.5.3

$7$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 8$

단계 3.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

단계 3.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$2 \int_{1}^{8} \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

단계 4

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$u^{\frac{1}{3}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$2 \int_{1}^{8} {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

단계 4.2

${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$2 \int_{1}^{8} u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

단계 4.2.2

$\frac{1}{3}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$2 \int_{1}^{8} u^{\frac{- 1}{3}} d u$

단계 4.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2 \int_{1}^{8} u^{- \frac{1}{3}} d u$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $u^{- \frac{1}{3}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ 가 됩니다.

$2 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}]_{1}^{8})$

단계 6

$\frac{3}{2}$ 와 $u^{\frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}]_{1}^{8})$

단계 7

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$8$ , $1$ 일 때, $\frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}$ 값을 계산합니다.

$2 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{2}{3}}}{2}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

단계 7.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$8$ 을 $2^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 (\frac{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

단계 7.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$2 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

단계 7.2.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$2 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

단계 7.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$2 (\frac{3 \cdot 2^{2}}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

단계 7.2.4

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$2 (\frac{3 \cdot 4}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

단계 7.2.5

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{12}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

단계 7.2.6

$12$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.6.1

$12$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (\frac{2 \cdot 6}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

단계 7.2.6.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.6.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

단계 7.2.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$2 (\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

단계 7.2.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$2 (\frac{6}{1} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

단계 7.2.6.2.4

$6$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 (6 - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

단계 7.2.7

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$2 (6 - \frac{3 \cdot 1}{2})$

단계 7.2.8

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (6 - \frac{3}{2})$

단계 7.2.9

공통 분모를 가지는 분수로 $6$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$2 (6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2})$

단계 7.2.10

$6$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{6 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2})$

단계 7.2.11

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 \frac{6 \cdot 2 - 3}{2}$

단계 7.2.12

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.12.1

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 \frac{12 - 3}{2}$

단계 7.2.12.2

$12$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$2 (\frac{9}{2})$

단계 7.2.13

$2$ 와 $\frac{9}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \cdot 9}{2}$

단계 7.2.14

$2$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{18}{2}$

단계 7.2.15

$18$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.15.1

$18$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 9}{2}$

단계 7.2.15.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.15.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 9}{2 (1)}$

단계 7.2.15.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 1}$

단계 7.2.15.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{9}{1}$

단계 7.2.15.2.4

$9$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$9$

단계 8