미적분 예제

$\int_{0}^{2} r^{2} e^{3 r} d r$

단계 1

$u = r^{2}$ 이고 $d v = e^{3 r}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$r^{2} (\frac{1}{3} e^{3 r})]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} e^{3 r} (2 r) d r$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{3}$ 와 $e^{3 r}$ 을 묶습니다.

$r^{2} \frac{e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} e^{3 r} (2 r) d r$

단계 2.2

$r^{2}$ 와 $\frac{e^{3 r}}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} e^{3 r} (2 r) d r$

단계 3

$\frac{1}{3} \cdot 2$ 은 $r$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3} \cdot 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int_{0}^{2} e^{3 r} (r) d r)$

단계 4

$\frac{1}{3}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} \int_{0}^{2} e^{3 r} (r) d r$

단계 5

$u = r$ 이고 $d v = e^{3 r}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (r (\frac{1}{3} e^{3 r})]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} e^{3 r} d r)$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$\frac{1}{3}$ 와 $e^{3 r}$ 을 묶습니다.

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (r \frac{e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} e^{3 r} d r)$

단계 6.2

$r$ 와 $\frac{e^{3 r}}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} e^{3 r} d r)$

단계 6.3

$\frac{1}{3}$ 와 $e^{3 r}$ 을 묶습니다.

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{e^{3 r}}{3} d r)$

단계 7

$\frac{1}{3}$ 은 $r$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} e^{3 r} d r))$

단계 8

먼저 $u = 3 r$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 3 d r$ 이므로 $\frac{1}{3} d u = d r$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 8.1

$u = 3 r$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d r}$ 를 구합니다.

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단계 8.1.1

$3 r$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d r} [3 r]$

단계 8.1.2

$3$ 은 $r$ 에 대해 일정하므로 $r$ 에 대한 $3 r$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d r} [r]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d r} [r]$

단계 8.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 는 $n r^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1$

단계 8.1.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3$

단계 8.2

$u = 3 r$ 의 $r$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

단계 8.3

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 8.4

$u = 3 r$ 의 $r$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 3 \cdot 2$

단계 8.5

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 6$

단계 8.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 6$

단계 8.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3} \int_{0}^{6} e^{u} \frac{1}{3} d u)$

단계 9

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3} \int_{0}^{6} \frac{e^{u}}{3} d u)$

단계 10

$\frac{1}{3}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int_{0}^{6} e^{u} d u))$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int_{0}^{6} e^{u} d u)$

단계 11.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{9} \int_{0}^{6} e^{u} d u)$

단계 12

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{9} e^{u}]_{0}^{6})$

단계 13

$e^{u}]_{0}^{6}$ 와 $\frac{1}{9}$ 을 묶습니다.

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{e^{u}]_{0}^{6}}{9})$

단계 14

대입하여 간단히 합니다.

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단계 14.1

$2$ , $0$ 일 때, $\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{2^{2} e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0^{2} e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{e^{u}]_{0}^{6}}{9})$

단계 14.2

$2$ , $0$ 일 때, $\frac{r e^{3 r}}{3}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{2^{2} e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0^{2} e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{e^{u}]_{0}^{6}}{9})$

단계 14.3

$6$ , $0$ 일 때, $e^{u}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{2^{2} e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0^{2} e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

단계 14.4

간단히 합니다.

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단계 14.4.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{4 e^{3 \cdot 2}}{3} - \frac{0^{2} e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

단계 14.4.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{0^{2} e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

단계 14.4.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

단계 14.4.4

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{0 e^{0}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

단계 14.4.5

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{0 \cdot 1}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

단계 14.4.6

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

단계 14.4.7

$0$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 14.4.7.1

$0$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

단계 14.4.7.2

공약수로 약분합니다.

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단계 14.4.7.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

단계 14.4.7.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

단계 14.4.7.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{0}{1} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

단계 14.4.7.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{4 e^{6}}{3} - 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

단계 14.4.8

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{4 e^{6}}{3} + 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

단계 14.4.9

$\frac{4 e^{6}}{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

단계 14.4.10

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

단계 14.4.11

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{0 e^{0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

단계 14.4.12

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{0 \cdot 1}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

단계 14.4.13

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{0}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

단계 14.4.14

$0$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.4.14.1

$0$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{3 (0)}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

단계 14.4.14.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.4.14.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

단계 14.4.14.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

단계 14.4.14.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{0}{1} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

단계 14.4.14.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - 0 - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

단계 14.4.15

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} + 0 - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

단계 14.4.16

$\frac{2 e^{6}}{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

단계 14.4.17

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{e^{6} - 1 \cdot 1}{9})$

단계 14.4.18

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{e^{6} - 1}{9})$

단계 14.4.19

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{2 e^{6}}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{e^{6} - 1}{9})$

단계 14.4.20

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $9$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 14.4.20.1

$\frac{2 e^{6}}{3}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6} \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{e^{6} - 1}{9})$

단계 14.4.20.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6} \cdot 3}{9} - \frac{e^{6} - 1}{9})$

단계 14.4.21

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2 e^{6} \cdot 3 - (e^{6} - 1)}{9}$

단계 14.4.22

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{6 e^{6} - (e^{6} - 1)}{9}$

단계 14.4.23

$\frac{6 e^{6} - (e^{6} - 1)}{9}$ 에 $\frac{2}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{(6 e^{6} - (e^{6} - 1)) \cdot 2}{9 \cdot 3}$

단계 14.4.24

$9$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{(6 e^{6} - (e^{6} - 1)) \cdot 2}{27}$

단계 14.4.25

$6 e^{6} - (e^{6} - 1)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2 \cdot (6 e^{6} - (e^{6} - 1))}{27}$

단계 14.4.26

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{4 e^{6}}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{9}{9}$ 을 곱합니다.

$\frac{4 e^{6}}{3} \cdot \frac{9}{9} - \frac{2 (6 e^{6} - (e^{6} - 1))}{27}$

단계 14.4.27

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $27$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.4.27.1

$\frac{4 e^{6}}{3}$ 에 $\frac{9}{9}$ 을 곱합니다.

$\frac{4 e^{6} \cdot 9}{3 \cdot 9} - \frac{2 (6 e^{6} - (e^{6} - 1))}{27}$

단계 14.4.27.2

$3$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{4 e^{6} \cdot 9}{27} - \frac{2 (6 e^{6} - (e^{6} - 1))}{27}$

단계 14.4.28

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4 e^{6} \cdot 9 - 2 (6 e^{6} - (e^{6} - 1))}{27}$

단계 14.4.29

$9$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{36 e^{6} - 2 (6 e^{6} - (e^{6} - 1))}{27}$

단계 15

분자를 간단히 합니다.

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단계 15.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 15.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{36 e^{6} - 2 (6 e^{6} - e^{6} - - 1)}{27}$

단계 15.1.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{36 e^{6} - 2 (6 e^{6} - e^{6} + 1)}{27}$

단계 15.2

$6 e^{6}$ 에서 $e^{6}$ 을 뺍니다.

$\frac{36 e^{6} - 2 (5 e^{6} + 1)}{27}$

단계 15.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{36 e^{6} - 2 (5 e^{6}) - 2 \cdot 1}{27}$

단계 15.4

$5$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{36 e^{6} - 10 e^{6} - 2 \cdot 1}{27}$

단계 15.5

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{36 e^{6} - 10 e^{6} - 2}{27}$

단계 15.6

$36 e^{6}$ 에서 $10 e^{6}$ 을 뺍니다.

$\frac{26 e^{6} - 2}{27}$

단계 16

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{26 e^{6} - 2}{27}$

소수 형태:

$388.41291225 \dots$

단계 17