미적분 예제

$\int_{0}^{2} \sin (π x) - (x^{3} - 4 x) d x$

단계 1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{0}^{2} \sin (π x) d x + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

단계 2

먼저 $u = π x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = π d x$ 이므로 $\frac{1}{π} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$u = π x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$π x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [π x]$

단계 2.1.2

$π$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $π x$ 의 미분은 $π \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$π \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$π \cdot 1$

단계 2.1.4

$π$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$π$

단계 2.2

$u = π x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = π \cdot 0$

단계 2.3

$π$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 2.4

$u = π x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = π \cdot 2$

단계 2.5

$π$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$u_{upper} = 2 π$

단계 2.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

단계 2.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{2 π} \sin (u) \frac{1}{π} d u + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

단계 3

$\sin (u)$ 와 $\frac{1}{π}$ 을 묶습니다.

$\int_{0}^{2 π} \frac{\sin (u)}{π} d u + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

단계 4

$\frac{1}{π}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{π}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{π} \int_{0}^{2 π} \sin (u) d u + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

단계 5

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- \cos (u)$ 입니다.

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

단계 6

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2} x^{3} - 4 x d x$

단계 7

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\int_{0}^{2} x^{3} d x + \int_{0}^{2} - 4 x d x)$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} x^{4}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 4 x d x)$

단계 9

$\frac{1}{4}$ 와 $x^{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 4 x d x)$

단계 10

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} - 4 \int_{0}^{2} x d x)$

단계 11

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}))$

단계 12

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}))$

단계 13

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$2 π$ , $0$ 일 때, $- \cos (u)$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{π} ((- \cos (2 π)) + \cos (0)) - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}))$

단계 13.2

$2$ , $0$ 일 때, $\frac{x^{4}}{4}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{π} ((- \cos (2 π)) + \cos (0)) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}))$

단계 13.3

$2$ , $0$ 일 때, $\frac{x^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{π} ((- \cos (2 π)) + \cos (0)) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

단계 13.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.4.1

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{16}{4} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

단계 13.4.2

$16$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.4.2.1

$16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

단계 13.4.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.4.2.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

단계 13.4.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

단계 13.4.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{4}{1} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

단계 13.4.2.2.4

$4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

단계 13.4.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{0}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

단계 13.4.4

$0$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.4.4.1

$0$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{4 (0)}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

단계 13.4.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.4.4.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

단계 13.4.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

단계 13.4.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{0}{1} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

단계 13.4.4.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 0 - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

단계 13.4.5

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 + 0 - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

단계 13.4.6

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

단계 13.4.7

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

단계 13.4.8

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.4.8.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

단계 13.4.8.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.4.8.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}))$

단계 13.4.8.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}))$

단계 13.4.8.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}))$

단계 13.4.8.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{0^{2}}{2}))$

단계 13.4.9

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{0}{2}))$

단계 13.4.10

$0$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.4.10.1

$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{2 (0)}{2}))$

단계 13.4.10.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.4.10.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

단계 13.4.10.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

단계 13.4.10.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{0}{1}))$

단계 13.4.10.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - 0))$

단계 13.4.11

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 + 0))$

단계 13.4.12

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 \cdot 2)$

단계 13.4.13

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 8)$

단계 13.4.14

$4$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - - 4$

단계 13.4.15

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) + 4$

단계 14

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + 1) + 4$

단계 15

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 뺍니다.

$\frac{1}{π} (- \cos (0) + 1) + 4$

단계 15.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{π} (- 1 \cdot 1 + 1) + 4$

단계 15.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{π} (- 1 + 1) + 4$

단계 15.4

$- 1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{π} \cdot 0 + 4$

단계 15.5

$\frac{1}{π}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 4$

단계 15.6

$0$ 를 $4$ 에 더합니다.

$4$