미적분 예제

$\int_{0}^{1} \frac{y}{e^{8 y}} d y$

단계 1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$e^{8 y}$ 의 지수의 부호를 반대로 바꾸고 분모 밖으로 빼냅니다.

$\int_{0}^{1} y {(e^{8 y})}^{- 1} d y$

단계 1.2

${(e^{8 y})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int_{0}^{1} y e^{8 y \cdot - 1} d y$

단계 1.2.2

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\int_{0}^{1} y e^{- 8 y} d y$

단계 2

$u = y$ 이고 $d v = e^{- 8 y}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$y (- \frac{1}{8} e^{- 8 y})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{8} e^{- 8 y} d y$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$e^{- 8 y}$ 와 $\frac{1}{8}$ 을 묶습니다.

$y (- \frac{e^{- 8 y}}{8})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{8} e^{- 8 y} d y$

단계 3.2

$y$ 와 $\frac{e^{- 8 y}}{8}$ 을 묶습니다.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{8} e^{- 8 y} d y$

단계 4

$- \frac{1}{8}$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- \frac{1}{8}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - (- \frac{1}{8} \int_{0}^{1} e^{- 8 y} d y)$

단계 5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + 1 (\frac{1}{8} \int_{0}^{1} e^{- 8 y} d y)$

단계 5.2

$\frac{1}{8}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} \int_{0}^{1} e^{- 8 y} d y$

단계 6

먼저 $u = - 8 y$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 8 d y$ 이므로 $- \frac{1}{8} d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$u = - 8 y$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$- 8 y$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [- 8 y]$

단계 6.1.2

$- 8$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- 8 y$ 의 미분은 $- 8 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$- 8 \frac{d}{d y} [y]$

단계 6.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 8 \cdot 1$

단계 6.1.4

$- 8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 8$

단계 6.2

$u = - 8 y$ 의 $y$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = - 8 \cdot 0$

단계 6.3

$- 8$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 6.4

$u = - 8 y$ 의 $y$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = - 8 \cdot 1$

단계 6.5

$- 8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = - 8$

단계 6.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 8$

단계 6.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} \int_{0}^{- 8} e^{u} \frac{1}{- 8} d u$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} \int_{0}^{- 8} e^{u} (- \frac{1}{8}) d u$

단계 7.2

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{8}$ 을 묶습니다.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} \int_{0}^{- 8} - \frac{e^{u}}{8} d u$

단계 8

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} (- \int_{0}^{- 8} \frac{e^{u}}{8} d u)$

단계 9

$\frac{1}{8}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{8}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} (- (\frac{1}{8} \int_{0}^{- 8} e^{u} d u))$

단계 10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$\frac{1}{8}$ 에 $\frac{1}{8}$ 을 곱합니다.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - \frac{1}{8 \cdot 8} \int_{0}^{- 8} e^{u} d u$

단계 10.2

$8$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - \frac{1}{64} \int_{0}^{- 8} e^{u} d u$

단계 11

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - \frac{1}{64} e^{u}]_{0}^{- 8}$

단계 12

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$1$ , $0$ 일 때, $- \frac{y e^{- 8 y}}{8}$ 값을 계산합니다.

$(- \frac{1 e^{- 8 \cdot 1}}{8}) + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} e^{u}]_{0}^{- 8}$

단계 12.2

$- 8$ , $0$ 일 때, $e^{u}$ 값을 계산합니다.

$(- \frac{1 e^{- 8 \cdot 1}}{8}) + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

단계 12.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.1

$- 8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1 e^{- 8}}{8} + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

단계 12.3.2

$e^{- 8}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{e^{- 8}}{8} + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

단계 12.3.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $e^{- 8}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

단계 12.3.4

$- 8$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0 e^{0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

단계 12.3.5

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0 \cdot 1}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

단계 12.3.6

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

단계 12.3.7

$0$ 및 $8$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.7.1

$0$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{8 (0)}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

단계 12.3.7.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.7.2.1

$8$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

단계 12.3.7.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

단계 12.3.7.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0}{1} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

단계 12.3.7.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \frac{1}{8 e^{8}} + 0 - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

단계 12.3.8

$- \frac{1}{8 e^{8}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{8 e^{8}} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

단계 12.3.9

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$- \frac{1}{8 e^{8}} - \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1 \cdot 1)$

단계 12.3.10

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{8 e^{8}} - \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1)$

단계 12.3.11

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1)$ 을 표현하기 위해 $\frac{8 e^{8}}{8 e^{8}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{8 e^{8}} - \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1) \cdot \frac{8 e^{8}}{8 e^{8}}$

단계 12.3.12

$- \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1)$ 와 $\frac{8 e^{8}}{8 e^{8}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{- \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1) (8 e^{8})}{8 e^{8}}$

단계 12.3.13

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 1 - \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1) (8 e^{8})}{8 e^{8}}$

단계 12.3.14

$8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 1 - 8 (\frac{1}{64}) (e^{- 8} - 1) e^{8}}{8 e^{8}}$

단계 12.3.15

$- 8$ 와 $\frac{1}{64}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 1 + \frac{- 8}{64} (e^{- 8} - 1) e^{8}}{8 e^{8}}$

단계 12.3.16

$e^{8}$ 와 $\frac{- 8}{64}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 1 + \frac{e^{8} \cdot - 8}{64} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

단계 12.3.17

$e^{8}$ 의 왼쪽으로 $- 8$ 이동하기

$\frac{- 1 + \frac{- 8 \cdot e^{8}}{64} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

단계 12.3.18

$- 8$ 및 $64$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.18.1

$- 8 e^{8}$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 + \frac{8 (- e^{8})}{64} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

단계 12.3.18.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.18.2.1

$64$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 + \frac{8 (- e^{8})}{8 (8)} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

단계 12.3.18.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1 + \frac{8 (- e^{8})}{8 \cdot 8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

단계 12.3.18.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1 + \frac{- e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

단계 12.3.19

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{- 1 - \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

단계 13

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (1) - \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

단계 13.2

$- \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 (1) - (\frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1))}{8 e^{8}}$

단계 13.3

$- 1 (1) - (\frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 (1 + \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1))}{8 e^{8}}$

단계 13.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1 + \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

단계 14

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{1 + \frac{e^{8}}{8} e^{- 8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

단계 14.1.2

$\frac{e^{8}}{8} e^{- 8}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1.2.1

$\frac{e^{8}}{8}$ 와 $e^{- 8}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1 + \frac{e^{8} e^{- 8}}{8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

단계 14.1.2.2

지수를 더하여 $e^{8}$ 에 $e^{- 8}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1.2.2.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{1 + \frac{e^{8 - 8}}{8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

단계 14.1.2.2.2

$8$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$- \frac{1 + \frac{e^{0}}{8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

단계 14.1.2.3

$e^{0}$ 을 간단히 합니다.

$- \frac{1 + \frac{1}{8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

단계 14.1.3

$\frac{e^{8}}{8}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$- \frac{1 + \frac{1}{8} + \frac{e^{8} \cdot - 1}{8}}{8 e^{8}}$

단계 14.1.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1.4.1

$e^{8}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$- \frac{1 + \frac{1}{8} + \frac{- 1 \cdot e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

단계 14.1.4.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1 + \frac{1}{8} - \frac{e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

단계 14.1.5

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$- \frac{\frac{8}{8} + \frac{1}{8} - \frac{e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

단계 14.1.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{\frac{8 + 1}{8} - \frac{e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

단계 14.1.7

$8$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{\frac{9}{8} - \frac{e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

단계 14.1.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{\frac{9 - e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

단계 14.1.9

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1.9.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{\frac{3^{2} - e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

단계 14.1.9.2

$e^{8}$ 을 ${(e^{4})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{\frac{3^{2} - {(e^{4})}^{2}}{8}}{8 e^{8}}$

단계 14.1.9.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 3$ 이고 $b = e^{4}$ 입니다.

$- \frac{\frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{8}}{8 e^{8}}$

단계 14.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$- (\frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{8} \cdot \frac{1}{8 e^{8}})$

단계 14.3

조합합니다.

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4}) \cdot 1}{8 (8 e^{8})}$

단계 14.4

$3 + e^{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{8 \cdot 8 e^{8}}$

단계 14.5

$8$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{8^{2} e^{8}}$

단계 14.6

$8$ 를 $2$ 승 합니다.

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{64 e^{8}}$

단계 15

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{64 e^{8}}$

소수 형태:

$0.01557782 \dots$

단계 16