미적분 예제

$\int_{0}^{1} \arcsin (y) d y$

단계 1

$u = \arcsin (y)$ 이고 $d v = 1$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} y \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} d y$

단계 2

$y$ 와 $\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}}$ 을 묶습니다.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{y}{\sqrt{1 - y^{2}}} d y$

단계 3

먼저 $u = 1 - y^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 2 y d y$ 이므로 $- \frac{1}{2} d u = y d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 3.1

$u = 1 - y^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

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단계 3.1.1

$1 - y^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

단계 3.1.2

미분합니다.

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단계 3.1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 - y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

단계 3.1.2.2

$1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

단계 3.1.3

$\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1.3.1

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- y^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 입니다.

$0 - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 3.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - (2 y)$

단계 3.1.3.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 - 2 y$

단계 3.1.4

$0$ 에서 $2 y$ 을 뺍니다.

$- 2 y$

단계 3.2

$u = 1 - y^{2}$ 의 $y$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 1 - 0^{2}$

단계 3.3

간단히 합니다.

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단계 3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$u_{lower} = 1 - 0$

단계 3.3.1.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 1 + 0$

단계 3.3.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 1$

단계 3.4

$u = 1 - y^{2}$ 의 $y$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 1 - 1^{2}$

단계 3.5

간단히 합니다.

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단계 3.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.5.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

단계 3.5.1.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 1 - 1$

단계 3.5.2

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$u_{upper} = 0$

단계 3.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

단계 3.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

단계 4.2

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

단계 4.3

$\sqrt{u}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

단계 5

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - - \int_{1}^{0} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + 1 \int_{1}^{0} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

단계 6.2

$\int_{1}^{0} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \int_{1}^{0} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

단계 7

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

단계 8

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 8.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

단계 8.2

$u^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

단계 8.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 8.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

단계 8.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

단계 8.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 9

멱의 법칙에 의해 $u^{- \frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{0}$

단계 10

대입하여 간단히 합니다.

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단계 10.1

$1$ , $0$ 일 때, $\arcsin (y) y$ 값을 계산합니다.

$(\arcsin (1) \cdot 1) - \arcsin (0) \cdot 0 + \frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{0}$

단계 10.2

$0$ , $1$ 일 때, $2 u^{\frac{1}{2}}$ 값을 계산합니다.

$(\arcsin (1) \cdot 1) - \arcsin (0) \cdot 0 + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

단계 10.3

간단히 합니다.

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단계 10.3.1

$\arcsin (1)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\arcsin (1) - \arcsin (0) \cdot 0 + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

단계 10.3.2

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\arcsin (1) + 0 \arcsin (0) + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

단계 10.3.3

$0$ 에 $\arcsin (0)$ 을 곱합니다.

$\arcsin (1) + 0 + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

단계 10.3.4

$\arcsin (1)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

단계 10.3.5

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

단계 10.3.6

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

단계 10.3.7

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 10.3.7.1

공약수로 약분합니다.

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

단계 10.3.7.2

수식을 다시 씁니다.

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot 0^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

단계 10.3.8

지수값을 계산합니다.

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot 0 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

단계 10.3.9

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (0 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

단계 10.3.10

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (0 - 2 \cdot 1)$

단계 10.3.11

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (0 - 2)$

단계 10.3.12

$0$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} \cdot - 2$

단계 10.3.13

$\frac{1}{2}$ 와 $- 2$ 을 묶습니다.

$\arcsin (1) + \frac{- 2}{2}$

단계 10.3.14

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.14.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\arcsin (1) + \frac{2 \cdot - 1}{2}$

단계 10.3.14.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.14.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\arcsin (1) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

단계 10.3.14.2.2

공약수로 약분합니다.

$\arcsin (1) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

단계 10.3.14.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\arcsin (1) + \frac{- 1}{1}$

단계 10.3.14.2.4

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\arcsin (1) - 1$

단계 11

$\arcsin (1)$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{2}$ 입니다.

$\frac{π}{2} - 1$

단계 12

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{π}{2} - 1$

소수 형태:

$0.57079632 \dots$