미적분 예제

$\int_{0}^{10} 3 e^{0.7 (10 - t)} d t$

단계 1

$3$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 \int_{0}^{10} e^{0.7 (10 - t)} d t$

단계 2

먼저 $u = 0.7 (10 - t)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 0.7 d t$ 이므로 $\frac{1}{- 0.7} d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$u = 0.7 (10 - t)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$0.7 (10 - t)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [0.7 (10 - t)]$

단계 2.1.2

$0.7$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $0.7 (10 - t)$ 의 미분은 $0.7 \frac{d}{d t} [10 - t]$ 입니다.

$0.7 \frac{d}{d t} [10 - t]$

단계 2.1.3

합의 법칙에 의해 $10 - t$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [- t]$ 가 됩니다.

$0.7 (\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [- t])$

단계 2.1.4

$10$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $10$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $10$ 입니다.

$0.7 (0 + \frac{d}{d t} [- t])$

단계 2.1.5

$0$ 를 $\frac{d}{d t} [- t]$ 에 더합니다.

$0.7 \frac{d}{d t} [- t]$

단계 2.1.6

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- t$ 의 미분은 $- \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$0.7 (- \frac{d}{d t} [t])$

단계 2.1.7

$- 1$ 에 $0.7$ 을 곱합니다.

$- 0.7 \frac{d}{d t} [t]$

단계 2.1.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 0.7 \cdot 1$

단계 2.1.9

$- 0.7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 0.7$

단계 2.2

$u = 0.7 (10 - t)$ 의 $t$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 0.7 (10 - 0)$

단계 2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$10$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$u_{lower} = 0.7 \cdot 10$

단계 2.3.2

$0.7$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 7$

단계 2.4

$u = 0.7 (10 - t)$ 의 $t$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 0.7 (10 - 1 \cdot 10)$

단계 2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$- 1$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 0.7 (10 - 10)$

단계 2.5.2

$10$ 에서 $10$ 을 뺍니다.

$u_{upper} = 0.7 \cdot 0$

단계 2.5.3

$0.7$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 0$

단계 2.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 7$

$u_{upper} = 0$

단계 2.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$3 \int_{7}^{0} e^{u} \frac{1}{- 0.7} d u$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$3 \int_{7}^{0} e^{u} (- \frac{1}{0.7}) d u$

단계 3.2

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{0.7}$ 을 묶습니다.

$3 \int_{7}^{0} - \frac{e^{u}}{0.7} d u$

단계 4

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 (- \int_{7}^{0} \frac{e^{u}}{0.7} d u)$

단계 5

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 3 \int_{7}^{0} \frac{e^{u}}{0.7} d u$

단계 6

$\frac{1}{0.7}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{0.7}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 3 (\frac{1}{0.7} \int_{7}^{0} e^{u} d u)$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$\frac{1}{0.7}$ 와 $- 3$ 을 묶습니다.

$\frac{- 3}{0.7} \int_{7}^{0} e^{u} d u$

단계 7.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3}{0.7} \int_{7}^{0} e^{u} d u$

단계 8

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$- \frac{3}{0.7} e^{u}]_{7}^{0}$

단계 9

대입하여 간단히 합니다.

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단계 9.1

$0$ , $7$ 일 때, $e^{u}$ 값을 계산합니다.

$- \frac{3}{0.7} ((e^{0}) - e^{7})$

단계 9.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$- \frac{3}{0.7} (1 - e^{7})$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

$3$ 을 $0.7$ 로 나눕니다.

$- 1 \cdot 4.\overline{285714} (1 - e^{7})$

단계 10.2

$- 1$ 에 $4.\overline{285714}$ 을 곱합니다.

$- 4.\overline{285714} (1 - e^{7})$

단계 10.3

$- 4.\overline{285714}$ 에 $1 - e^{7}$ 을 곱합니다.

$4695.57067897$

단계 11