미적분 예제

$\int_{0}^{8} {(\frac{2 - 3 x}{4})}^{2} d x$

단계 1

먼저 $u = \frac{2 - 3 x}{4}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - \frac{3}{4} d x$ 이므로 $- \frac{4}{3} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u = \frac{2 - 3 x}{4}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$\frac{2 - 3 x}{4}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 - 3 x}{4}]$

단계 1.1.2

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2 - 3 x}{4}$ 의 미분은 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [2 - 3 x]$ 입니다.

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [2 - 3 x]$

단계 1.1.3

합의 법칙에 의해 $2 - 3 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

단계 1.1.4

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$\frac{1}{4} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

단계 1.1.5

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 에 더합니다.

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [- 3 x]$

단계 1.1.6

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{4} (- 3 \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.1.7

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.7.1

$- 3$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 3}{4} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.7.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{3}{4} \cdot 1$

단계 1.1.9

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{3}{4}$

단계 1.2

$u = \frac{2 - 3 x}{4}$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \frac{2 - 3 \cdot 0}{4}$

단계 1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$2 - 3 \cdot 0$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1

$2$ 을 $- 1 (- 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 2) - 3 \cdot 0}{4}$

단계 1.3.1.2

$- 3 \cdot 0$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 2) - (3 \cdot 0)}{4}$

단계 1.3.1.3

$- 1 (- 2) - (3 \cdot 0)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 2 + 3 \cdot 0)}{4}$

단계 1.3.1.4

항을 다시 정렬합니다.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 2 + 0 \cdot 3)}{4}$

단계 1.3.1.5

$- 1 (- 2 + 0 \cdot 3)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$u_{lower} = \frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 3))}{4}$

단계 1.3.1.6

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.6.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$u_{lower} = \frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 3))}{2 (2)}$

단계 1.3.1.6.2

공약수로 약분합니다.

$u_{lower} = \frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 3))}{2 \cdot 2}$

단계 1.3.1.6.3

수식을 다시 씁니다.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 1 + 0 \cdot 3)}{2}$

단계 1.3.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

$0$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 1 + 0)}{2}$

단계 1.3.2.2

$- 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$u_{lower} = \frac{- 1 \cdot - 1}{2}$

단계 1.3.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = \frac{1}{2}$

단계 1.4

$u = \frac{2 - 3 x}{4}$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \frac{2 - 3 \cdot 8}{4}$

단계 1.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$2 - 3 \cdot 8$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1.1

$2$ 을 $- 1 (- 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 2) - 3 \cdot 8}{4}$

단계 1.5.1.2

$- 3 \cdot 8$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 2) - (3 \cdot 8)}{4}$

단계 1.5.1.3

$- 1 (- 2) - (3 \cdot 8)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 2 + 3 \cdot 8)}{4}$

단계 1.5.1.4

항을 다시 정렬합니다.

$u_{upper} = \frac{- 1 (3 \cdot 8 - 2)}{4}$

단계 1.5.1.5

$- 1 (3 \cdot 8 - 2)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$u_{upper} = \frac{2 (- 1 (3 \cdot 4 - 1))}{4}$

단계 1.5.1.6

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1.6.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$u_{upper} = \frac{2 (- 1 (3 \cdot 4 - 1))}{2 (2)}$

단계 1.5.1.6.2

공약수로 약분합니다.

$u_{upper} = \frac{2 (- 1 (3 \cdot 4 - 1))}{2 \cdot 2}$

단계 1.5.1.6.3

수식을 다시 씁니다.

$u_{upper} = \frac{- 1 (3 \cdot 4 - 1)}{2}$

단계 1.5.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = \frac{- 1 (12 - 1)}{2}$

단계 1.5.2.2

$12$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$u_{upper} = \frac{- 1 \cdot 11}{2}$

단계 1.5.3

$- 1$ 에 $11$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = \frac{- 11}{2}$

단계 1.5.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$u_{upper} = - \frac{11}{2}$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = \frac{1}{2}$

$u_{upper} = - \frac{11}{2}$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - u^{2} \frac{- 1}{- \frac{3}{4}} d u$

단계 2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - u^{2} \frac{1}{\frac{3}{4}} d u$

단계 2.2

$\frac{3}{4}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - u^{2} (1 (\frac{4}{3})) d u$

단계 2.3

$\frac{4}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - u^{2} \frac{4}{3} d u$

단계 2.4

$\frac{4}{3}$ 와 $u^{2}$ 을 묶습니다.

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - \frac{4 u^{2}}{3} d u$

단계 3

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} \frac{4 u^{2}}{3} d u$

단계 4

$\frac{4}{3}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{4}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{4}{3} \int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} u^{2} d u)$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $u^{2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

$- \frac{4}{3} \frac{1}{3} u^{3}]_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}}$

단계 6

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$- \frac{11}{2}$ , $\frac{1}{2}$ 일 때, $\frac{1}{3} u^{3}$ 값을 계산합니다.

$- \frac{4}{3} ((\frac{1}{3} {(- \frac{11}{2})}^{3}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

단계 6.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$- \frac{11}{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} {(- (\frac{11}{2}))}^{3} - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

단계 6.2.2

$- (\frac{11}{2})$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} ({(- 1)}^{3} {(\frac{11}{2})}^{3}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

단계 6.2.3

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} (- {(\frac{11}{2})}^{3}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

$\frac{11}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} (- \frac{11^{3}}{2^{3}}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

단계 7.1.2

$11$ 를 $3$ 승 합니다.

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} (- \frac{1331}{2^{3}}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

단계 7.1.3

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} (- \frac{1331}{8}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

단계 7.1.4

$\frac{1}{3} (- \frac{1331}{8})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.4.1

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{1331}{8}$ 을 곱합니다.

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{3 \cdot 8} - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

단계 7.1.4.2

$3$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

단계 7.1.5

$\frac{1}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1^{3}}{2^{3}})$

단계 7.1.6

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2^{3}})$

단계 7.1.7

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8})$

단계 7.1.8

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.8.1

$\frac{1}{8}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{8 \cdot 3})$

단계 7.1.8.2

$8$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{24})$

단계 7.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{- 1331 - 1}{24}$

단계 7.3

$- 1331$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{- 1332}{24}$

단계 7.4

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1

$- \frac{4}{3}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 4}{3} \cdot \frac{- 1332}{24}$

단계 7.4.2

$- 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 1332}{24}$

단계 7.4.3

$24$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 1332}{4 \cdot 6}$

단계 7.4.4

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 1332}{4 \cdot 6}$

단계 7.4.5

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{- 1332}{6}$

단계 7.5

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1

$- 1332$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 (- 444)}{6}$

단계 7.5.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 \cdot - 444}{6}$

단계 7.5.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{- 444}{6}$

단계 7.6

$- 444$ 을 $6$ 로 나눕니다.

$- - 74$

단계 7.7

$- 1$ 에 $- 74$ 을 곱합니다.

$74$

단계 8