미적분 예제

$\int_{0}^{7} x \sqrt[3]{x + 1} d x$

단계 1

$u = x$ 이고 $d v = \sqrt[3]{x + 1}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$x (\frac{3}{4} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})]_{0}^{7} - \int_{0}^{7} \frac{3}{4} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} d x$

단계 2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\frac{3}{4}$ 와 ${(x + 1)}^{\frac{4}{3}}$ 을 묶습니다.

$x \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}{4}]_{0}^{7} - \int_{0}^{7} \frac{3}{4} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} d x$

단계 2.2

$x$ 와 $\frac{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \int_{0}^{7} \frac{3}{4} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} d x$

단계 3

$\frac{3}{4}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{3}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - (\frac{3}{4} \int_{0}^{7} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} d x)$

단계 4

먼저 $u = x + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 4.1

$u = x + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 4.1.1

$x + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 4.1.2

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 4.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 4.1.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 4.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 4.2

$u = x + 1$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 0 + 1$

단계 4.3

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 1$

단계 4.4

$u = x + 1$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 7 + 1$

단계 4.5

$7$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 8$

단계 4.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

단계 4.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \frac{3}{4} \int_{1}^{8} u^{\frac{4}{3}} d u$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{4}{3}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}$ 가 됩니다.

$\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \frac{3}{4} \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}]_{1}^{8}$

단계 6

대입하여 간단히 합니다.

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단계 6.1

$7$ , $0$ 일 때, $\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{7 (3 {(7 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}]_{1}^{8}$

단계 6.2

$8$ , $1$ 일 때, $\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{7 (3 {(7 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

단계 6.3

간단히 합니다.

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단계 6.3.1

$7$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{7 (3 \cdot 8^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

단계 6.3.2

$8$ 을 $2^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{7 (3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

단계 6.3.3

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{7 (3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

단계 6.3.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{7 (3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

단계 6.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{7 (3 \cdot 2^{4})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

단계 6.3.5

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$\frac{7 (3 \cdot 16)}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

단계 6.3.6

$3$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$\frac{7 \cdot 48}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

단계 6.3.7

$7$ 에 $48$ 을 곱합니다.

$\frac{336}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

단계 6.3.8

$336$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.3.8.1

$336$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 \cdot 84}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

단계 6.3.8.2

공약수로 약분합니다.

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단계 6.3.8.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 \cdot 84}{4 (1)} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

단계 6.3.8.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 \cdot 84}{4 \cdot 1} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

단계 6.3.8.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{84}{1} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

단계 6.3.8.2.4

$84$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$84 - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

단계 6.3.9

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$84 - \frac{0 (3 \cdot 1^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

단계 6.3.10

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$84 - \frac{0 (3 \cdot 1)}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

단계 6.3.11

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$84 - \frac{0 \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

단계 6.3.12

$0$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$84 - \frac{0}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

단계 6.3.13

$0$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.13.1

$0$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$84 - \frac{4 (0)}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

단계 6.3.13.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.13.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$84 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

단계 6.3.13.2.2

공약수로 약분합니다.

$84 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

단계 6.3.13.2.3

수식을 다시 씁니다.

$84 - \frac{0}{1} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

단계 6.3.13.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$84 - 0 - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

단계 6.3.14

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$84 + 0 - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

단계 6.3.15

$84$ 를 $0$ 에 더합니다.

$84 - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

단계 6.3.16

$8$ 을 $2^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$84 - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} \cdot {(2^{3})}^{\frac{7}{3}} - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

단계 6.3.17

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$84 - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} \cdot 2^{3 (\frac{7}{3})} - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

단계 6.3.18

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.18.1

공약수로 약분합니다.

$84 - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} \cdot 2^{3 (\frac{7}{3})} - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

단계 6.3.18.2

수식을 다시 씁니다.

$84 - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} \cdot 2^{7} - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

단계 6.3.19

$2$ 를 $7$ 승 합니다.

$84 - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} \cdot 128 - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

단계 6.3.20

$\frac{3}{7}$ 와 $128$ 을 묶습니다.

$84 - \frac{3}{4} (\frac{3 \cdot 128}{7} - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

단계 6.3.21

$3$ 에 $128$ 을 곱합니다.

$84 - \frac{3}{4} (\frac{384}{7} - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

단계 6.3.22

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$84 - \frac{3}{4} (\frac{384}{7} - \frac{3}{7} \cdot 1)$

단계 6.3.23

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$84 - \frac{3}{4} (\frac{384}{7} - \frac{3}{7})$

단계 6.3.24

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$84 - \frac{3}{4} \cdot \frac{384 - 3}{7}$

단계 6.3.25

$384$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$84 - \frac{3}{4} \cdot \frac{381}{7}$

단계 6.3.26

$\frac{381}{7}$ 에 $\frac{3}{4}$ 을 곱합니다.

$84 - \frac{381 \cdot 3}{7 \cdot 4}$

단계 6.3.27

$381$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$84 - \frac{1143}{7 \cdot 4}$

단계 6.3.28

$7$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$84 - \frac{1143}{28}$

단계 6.3.29

공통 분모를 가지는 분수로 $84$ 을 표현하기 위해 $\frac{28}{28}$ 을 곱합니다.

$84 \cdot \frac{28}{28} - \frac{1143}{28}$

단계 6.3.30

$84$ 와 $\frac{28}{28}$ 을 묶습니다.

$\frac{84 \cdot 28}{28} - \frac{1143}{28}$

단계 6.3.31

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{84 \cdot 28 - 1143}{28}$

단계 6.3.32

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.32.1

$84$ 에 $28$ 을 곱합니다.

$\frac{2352 - 1143}{28}$

단계 6.3.32.2

$2352$ 에서 $1143$ 을 뺍니다.

$\frac{1209}{28}$

단계 7

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{1209}{28}$

소수 형태:

$43.17857142 \dots$

대분수 형식:

$43 \frac{5}{28}$

단계 8